Cuando se mira el estándar de la $3\times3$ representación de $SU(3)$, uno reconoce inmediatamente algunos subgrupos isomorfo a $SU(2)$:
- No es el subgrupo que actúan sobre los dos primeros elementos del vector, manteniendo el tercero sin cambios (y, por supuesto, la misma para salir de cualquiera de los otros elementos intactos). De hecho, no es difícil ver que para cualquier vector unitario, hay un $SU(2)$ subgrupo actuar sólo sobre los dos vectores othogonal. Tampoco es difícil ver que todos los subgrupos son conjugado a cada uno de los otros.
- Puesto que el $3\times3$ representación de $SU(2)$, se compone también de especial unitaria de las matrices, que por supuesto también corresponde a un subgrupo de $SU(3)$. Los elementos de esta representación puede ser, por ejemplo, escrito como $\exp(\mathrm i\alpha L_z)\exp(\mathrm i\beta L_x)\exp(\mathrm i\gamma L_z)$ donde$L_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$$L_z=\operatorname{diag}(1,0,-1)$.
Ahora una pregunta natural es si este último subgrupo es conjugado a la de los anteriores. He llegado a la conclusión de que no lo es, con la siguiente argumentación:
Ella, por supuesto, es suficiente para comprobar conjugacy con el subgrupo que actúan sobre los dos primeros elementos (porque conjugacy es una relación de equivalencia). Ahora los elementos de ese subgrupo todos conmuta con el subgrupo de las transformaciones de la forma $\operatorname{diag}(\mathrm e^{\mathrm i\phi}, \mathrm e^{\mathrm i\phi}, \mathrm e^{-2\mathrm i\phi})$. Sin embargo, los miembros de la $3\times3$ representación de $SU(2)$ sólo conmuta con los múltiplos de la unidad de la matriz (tres de los cuales son miembros de $SU(3)$). Por lo tanto, los dos grupos no puede ser conjugado a cada uno de los otros.
Ahora mi pregunta es: Es mi razonamiento correcto?
