Tengo una (tal vez tonta) pregunta motivada por el siguiente ejercicio en Atiyah-MacDonald del libro:
Decir $(A_i,\alpha_{ij})$ es un sistema directo de los anillos directo con el límite de $A_\infty$ y asociados homomorphisms $\alpha_i: A_i \to A_\infty$. Deje $(\mathfrak{N}_i,\alpha_{ij}')$ denotar el sistema directo de nilradicals $\mathfrak{N}_i \subseteq A_i$ $\alpha_{ij}'$ la restricción de $\alpha_{ij}$$\mathfrak{N}_i$. Decir $\mathfrak{N}_\infty$ es el límite de la nilradicals y $\nu_i: \mathfrak{N}_i\to \mathfrak{N}_\infty$ de los asociados homomorphisms.
Vamos a mostrar que el nilradical de $A_\infty$ es el límite de $\mathfrak{N}_\infty$.
El ejercicio es fácil (basado en ejercicios anteriores) si identificamos cada una de las $\nu_i$ con la restricción de $\alpha_i$$\mathfrak{N}_i$. No es una solución en línea en los que esto se hace. Pero ¿cuál es la justificación para esta identificación? O, es que esto no se justifica y miré a una mala solución? Todo se reduce a afirmar que si $x\in \mathfrak{N}_i$,$\alpha_i(x) \in \mathfrak{N}_\infty$.
Cuando miramos una obra de construcción de la directa límite (por ejemplo, comenzar con un discontinuo de la unión, a continuación, mod por una adecuada relación), uno ve que esta identificación está claro que no es real la igualdad de los mapas. La colección de clases de equivalencia en $\mathfrak{N}_\infty$ no se encuentran realmente en $A_\infty$. Pero tal vez hay algún tipo de identificación que me puede faltar, que me permite ver $\nu_i$ como una restricción?
He intentado mostrar que $\mathfrak{N}_\infty$ junto con la restringida mapas de $\alpha_i' :=\alpha_i|\mathfrak{N}_i$ satisfecho el universal asignación de la propiedad de un directo en el límite de la esperanza de la invocación de la singularidad de los directos de los límites, pero que no parecen ir a ninguna parte...
Me estoy perdiendo algo?
