Cada elemento de $U + V + W$ puede expresarse únicamente en la forma $u + v + w$

Question

Supongamos que $U$ , $V$ y $W$ son subespacios de un determinado espacio vectorial. Con la definición obvia de $U + V + W$ muestran que cada elemento de $U + V + W$ puede expresarse únicamente en la forma $u + v + w$ donde $u ∈ U$ , $v ∈ V$ y $w ∈ W$ si y sólo si

$$ \dim (U + V + W) = \dim (U) + \dim (V) + \dim (W)$$

1) Diga cada elemento de $U + V + W$ puede expresarse únicamente en la forma $u + v + w$ . Deje que $u_1,...,u_n$ , $v_1,...,v_m$ , $w_1,...,w_q$ ser las bases respectivas. Entonces cada elemento en $U + V + W$ puede expresarse de manera única como

$$( \alpha_1u_1 +...+ \alpha_nu_n )+( \beta_1v_1 +...+ \beta_mv_m )+( \gamma_1w_1 +...+ \gamma_qw_q )$$

mostrando que

$$ \dim (U + V + W) = \dim (U) + \dim (V) + \dim (W)$$

2) ¿Cómo pruebo lo contrario? Se aprecian las indirectas (también la verificación, que lo que hice, no es inútil :) ). ¡Gracias!

Answer 1

La gente realmente está perdiendo el punto de vista del ejercicio. Si tengo dos subespacios (de dimensiones finitas) $S,T$ en algún espacio vectorial más grande, los siguientes son equivalentes:

(1) $ \dim (S + T) = \dim S + \dim T$

(2) $S \cap T = \{ \; \vec {0} \; \} $

(3) cada vector en $S+T$ tiene sólo uno expresión como $s+t,$ con $s \in S, \; t \in T.$

Sobre los puntos (2) y (3), si tengo algún vector no cero $v \in S \cap T,$ entonces puedo escribirlo como $v \in S$ o $v \in T,$ que podría escribirse en orden como $v + 0 = 0 + v,$ dando la no singularidad a la expresión. De hecho, tenemos una expresión alternativa $0 = v + (-v).$ Así que, dada cualquier $w = s+t,$ obtenemos una segunda expresión $w = (s + v) + (t - v).$ Eso se llama no singularidad.

Su pregunta es sobre tres subespacios $U,V,W$ que tienen intersecciones triviales (por pares).

Las palabras importantes aquí son "únicamente" e "intersecciones".

EDITORIAL, lunes 17 de junio. Fíjese que si puede probar la equivalencia de las tres propiedades anteriores, una prueba realmente buena y cuidadosa, entonces la pregunta para los tres subespacios es sólo una prueba por inducción (sólo un paso de este tipo), usando algunas desigualdades: $$ \dim (U+V) \leq \dim U + \dim V. $$ $$ \dim (U+V+W) \leq \dim (U+V) + \dim W. $$

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OTRA EDICIÓN, el mismo día:

TEOREMA 1: $$ \dim (U+V) \leq \dim U + \dim V, $$ y la igualdad se mantiene si y sólo si $$ U \cap V = \{ \vec {0} \}. $$ PRUEBA: por @Sarunas

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TEOREMA 2: $$ \dim (U+V + W) \leq \dim (U+V) + \dim W, $$ y la igualdad se mantiene si y sólo si $$ (U+V) \cap W = \{ \vec {0} \}. $$ PRUEBA: aplicar el Teorema 1.

PRECAUCIÓN: la condición (para la igualdad) en el Teorema 2 de arriba es a veces más fuerte que las intersecciones triviales por pares. El ejemplo más simple son tres espacios unidimensionales distintos (líneas que atraviesan el origen) en el plano $ \mathbb R^2.$ Ver MO_COMMON_FALSE_BELIEFS_TILMAN incluyendo el comentario de @Willie Wong

Answer 2

Este es un enfoque diferente, usando una idea clásica en el álgebra lineal: expresar los subespacios como imágenes o núcleos de mapas lineales.

Primero recordaré algunas cosas sobre el producto cartesiano de los espacios vectoriales.

Sabemos que podemos definir $U \times V \times W $ para ser el conjunto de triples con el primer elemento en $U$ el segundo en $V$ y tercero en $W$ . Este conjunto se le puede dar una estructura de espacio vectorial declarando $$(u,v,w)+(u',v',w') > = (u+u', v+v', w+w') ; \lambda (u,v,w) = ( \lambda u, \lambda v, \lambda w)$$ Podemos demostrar que si $(u_1, ..., u_m) ; (v_1, ..., v_n); (w_1,..., w_p)$ son la base de $U,V,W$ respectivamente, entonces $[(u_1,0,0), ...,(u_m,0,0) ; (0,v_1,0), ..., (0,v_n,0); (0,0,w_1), ..., (0,0,w_p)]$ es una base de $U \times V \times W $ .

Así, $$ \dim (U \times V \times W) = \dim (U) + \dim (V) + \dim (W)$$

Deje que $$ \phi : \cases { U \times V \times W \rightarrow E \\ (u,v,w) \mapsto u+v+w}$$

Este es un mapa lineal, es la función que "construye" todos los elementos de $U + V + W$ . En realidad, tenemos $ \text {im}( \phi ) = U + V + W$ . Obsérvese que significa automáticamente que $U + V + W$ es un subespacio de $E$ !

Pedir la singularidad de la expresión de los elementos de $U+V+W$ es lo mismo que pedir que esta función sea inyectiva. Este es el caso si y sólo si $ \ker ( \phi ) = {0}$ que por el teorema fundamental del álgebra lineal, es el caso si y sólo si $$ \dim (U \times V \times W ) = \dim ( \text {im}( \phi )) \\ \Leftrightarrow \dim (U \times V \times W) = \dim (U+V+W) \\ \Leftrightarrow \dim (U) + \dim (V) + \dim (W) = \dim (U+V+W)$$

Answer 3

El color de una masa de agua suele deberse principalmente a la luz que se refleja en el cielo y sus alrededores. Por supuesto, el océano no suele tener mucho alrededor excepto el cielo, pero en un lugar donde mucha luz de la vegetación se refleja en el agua, el océano puede parecer verde.

Este es un lago de agua dulce; se pueden ver reflejos de cielo blanco, cielo azul, árboles verdes, etc.

Los colores del agua, especialmente los de los reflejos del cielo, tienden a ser más oscuros y diferentes porque los colores del cielo están a menudo polarizados. Cuando la luz mira a una superficie lisa, la superficie refleja la luz con polarización horizontal más eficazmente que la luz con polarización vertical (véase el Ángulo de Brewster), por lo que algunas claraboyas pueden terminar oscurecidas - o aclaradas - en relación con otros colores dependiendo del ángulo de polarización y el ángulo de incidencia.

Answer 4

Creo que ahora entiendo lo que Will Jagy quería insinuar, pero quiero asegurarme de que realmente lo entiendo. Entonces, la primera parte de mi respuesta fue correcta, ¿verdad? Pero entonces, por el contrario:

Supongamos que $$ \dim (U+V+W)= \dim (U)+ \dim (V)+ \dim (W)$$

También, supongamos por contradicción, que una de las intersecciones contiene al menos un vector no cero, digamos $U \cap W=\{0,z_1\}$ . Entonces puedo escribirlo como $z_1 \in U$ o $z_1 \in W$ . Pero eso significa que uno de los vectores en $U+W$ (o en $U+V+W$ para el caso) tiene una representación no única, lo que significa que

$$ \dim (U+V+W)< \dim (U)+ \dim (V)+ \dim (W)$$ y contradiciendo la suposición inicial. Así que tenemos un par de intersecciones triviales entre los subespacios dados

$$U \cap V=V \cap W=U \cap W=\{0\}$$

Pero entonces para expresar un vector en $U+V+W$ necesitamos alguna base $u_1,...u_n,v_1,...,v_m,w_1,...,w_q$ donde $u_i \in U$ , $v_i \in V$ , $w_i \in W$ . Dado que las intersecciones por pares sólo contienen el vector cero, estos elementos son linealmente independientes y por lo tanto cada elemento en $U+V+W$ tiene una representación única.

¿Estoy en lo cierto?