Calcular la gravedad teniendo en cuenta el cambio de la fuerza gravitacional

Question

Este es un problema que me ha molestado durante un par de semanas ahora, y me parece que no puede envolver mi cabeza alrededor de ella y entenderla.

Supongamos que tenemos un planeta con una masa de m. También tenemos un objeto de masa relativamente pequeña (tan pequeño que su campo gravitacional no afectaría el planeta), y sabemos que en el tiempo 0 es en la posición h.

Si sabemos que la aceleración debida a la gravedad (g), podemos calcular la posición y en el tiempo t:

$y = h - { g \; t^2 \over 2 } $

Y sabemos que la aceleración debida a la gravedad podría ser calculado:

$g = G { m \over y^2 }$

Pero ya que la aceleración depende de la posición del objeto en relación con el planeta, y la posición del objeto depende de la aceleración, esto significaría obviamente que la primera fórmula no funciona cuando estamos trabajando con desplazamiento tan grande que iba a cambiar la aceleración de manera significativa.

Así que, en esencia, mi pregunta es, ¿qué fórmula podemos utilizar para calcular la posición de un objeto, tomando en consideración el cambio en la aceleración debida a la gravedad?

Answer 1

Creo que su paradoja de los resultados de la primera ecuación, suponiendo una aceleración constante, que no será el caso si se calcula la gravedad utilizando el inverso del cuadrado de la ley de la Gravitación Universal no sólo asumiendo una constante g.

En cuanto a lo de la fórmula que usted puede utilizar para calcular la posición del objeto cuando se toma en cuenta la Gravitación Universal...digamos que los cálculos que he probado no eran demasiado bonita.

Aquí está el problema: ya que no podemos usar las fórmulas de cinemática que suponen una aceleración constante más, usted tiene que ir de nuevo a la Segunda Ley de Newton y el enchufe en la ley de la Gravitación Universal directamente (NOTA: en las ecuaciones siguientes que yo llamo la distancia entre los dos cuerpos i en lugar de y, y me escriben que su "pequeño" masa tiene una masa de M...no se preocupe, aunque, como se va a llegar cancelado!): $$ -GmM/r^2 = Ma_r $$

Esto le da a usted la siguiente de segundo orden no lineal de la ecuación diferencial ordinaria:

$$ \ddot{r} + Gm/r^2 = 0 $$ Wolfram Alpha encontrar una solución analítica para esto, pero es engorroso para el punto de inutilidad. Así que supongo que es la fórmula que se está buscando (menos necesidad de incluir la necesaria constantes)...como dije, a pesar de esto, no es muy bonita!

Answer 2

Estás en lo correcto de que el "normal" fórmula $y = h - gt^2/2$ no funciona cuando la aceleración de la gravedad de los cambios, por lo que necesita una fórmula diferente. Las expresiones matemáticas son un poco feo, aunque. Steven sentó las bases para esto, pero voy a señalar a una anterior respuesta de mina donde hice el cálculo. El resultado viene a ser

$$t_f - t_i = \frac{1}{\sqrt{2G(m_1 + m_2)}}\biggl(\sqrt{r_i r_f(r_i - r_f)} + r_i^{3/2}\cos^{-1}\sqrt{\frac{r_f}{r_i}}\biggr)$$

$r_i$ $t_i$ son la posición inicial (altura) y el tiempo, respectivamente, y $r_f$ $t_f$ son los correspondientes valores finales. Esta ecuación es un poco "hacia atrás", en el sentido de que en lugar de expresar su posición como una función del tiempo, se expresa el tiempo como una función de la posición. Usted puede invertir para expresar la posición como función del tiempo, pero usted no encontrará una sola buena función. Lo que tendría que hacer la inversión numéricamente, conectándola a un ordenador, o mediante el cálculo de una potencia de la serie o algo por el estilo.