Evaluar sumas de la forma $\sum_{i_d=1}^{\infty}\ldots\sum_{i_2=1}^{\infty}\sum_{i_1=1}^{\infty}x^{i_1\cdot i_2\cdots i_d}$

Question

Me pregunto si hay una forma de evaluar u obtener una expresión más útil para una suma de la siguiente forma: $$\sum_{i_d=1}^{\infty}\ldots\sum_{i_2=1}^{\infty}\sum_{i_1=1}^{\infty}x^{i_1\cdot i_2\cdots i_d},$$ donde $|x|<1.$ Por ejemplo, si $d=2$ entonces la suma es un ejemplo de Serie Lambert y los exponentes que aparecen están dados esencialmente por (hasta cierto barajado de índices) esto Entrada en la OEIS . En este caso no es difícil obtener $$\sum_{j=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{\infty}x^{ij}=\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^{j}}{1-x^{j}},$$ que luego puedo evaluar para cualquier $|x|<1.$

Esto puede verse como una suma sobre un $d$ -La red de números enteros no negativos, así que he mirado cosas como "lattice sums" (he intentado poner un enlace aquí pero no tengo suficientes puntos de reputación para poner más de 2 enlaces) pero no he encontrado nada útil.

Incluso algo para el caso $d=3$ sería útil.

Answer 1

Como dice que puede evaluar la suma infinita restante en el $d=2$ caso, deduzco que reducir la suma múltiple a una única suma infinita ya sería un progreso suficiente.

Entonces quieres contar el número $\pi_d(n)$ de formas en las que un número entero positivo $n$ puede escribirse como un producto ordenado de enteros positivos. Encuentra la factorización en primos, $n=\prod_ip_i^{k_i}$ y distribuir de forma independiente $k_i$ bolas sobre $d$ contenedores para cada $i$ para un total de $\pi_d(n)=\prod_i\binom{k_i+d-1}{d-1}$ formas. Entonces su suma es

$$ \sum_{n=1}^\infty\pi_d(n)x^n\;, $$

la función generadora ordinaria para $\pi_d(n)$ . Tenga en cuenta que $\pi_d(n)$ es una función multiplicativa, lo que permite calcularla sin factorizar.