Mostrando dos definiciones de un coeficiente binomial son las mismas

Question

Tengo una tarea de la pregunta donde tenemos que demostrar las siguientes definiciones de un coeficiente binomial son iguales, de manera algebraica.

Esto es lo que tengo hasta el momento, y se está poniendo muy complicado. Y yo podría utilizar algunas instrucciones sobre cómo continuar. Por el momento creo que solo estoy haciendo mal desde el principio y me voy a complicar las cosas. Pero no estoy muy seguro de cómo continuar, porque estoy mirando estos números y no puede continuar.

He escrito esto en Microsoft Word, así que voy a usar las imágenes para mostrar lo que he conseguido hasta ahora, ya que al escribir todo esto de nuevo en el Látex es tedioso.

También esta es la tarea para mí, así que por favor no me des la respuesta todavía, porque sé que yo sólo podía mirar esto en el internet. Me gustaría probar a mí mismo, para la mayoría de la parte, pero desde que estoy en problemas, me preguntaba si alguien me podría dar una ligera sugerencia sobre qué hacer.

Answer 1

En el camino correcto, pero que no ha elegido el más fácil/más bajo común denominador.

Como ha escrito,

$${{n-1} \choose {k-1}}+{{n-1} \choose k}=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}+\frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!}$$

¿No es uno de lo denominador un múltiplo de la otra?

Recuerda que el $(n+1)!=(n+1)\cdot n \cdots 2\cdot 1=(n+1)\cdot n!$.

Tenga en cuenta que usted puede también comprobar esto utilizando una prueba combinatoria, que le dará una idea más intuitiva de por qué se mantiene la igualdad.