Una prueba combinatoria de Wilson ' s Teorema

Question

Estoy buscando una combinatoria de la prueba del Teorema de Wilson. Algo a lo largo de las líneas de este tipo de prueba.

$\textbf{Combinatorial proof of Fermat's Little Theorem}$

Primero considere un $p$ -tupla y digamos que hay $a$ distintos números de donde $a > 0$ . Ahora la cantidad de tuplas se $a^p$. Ahora podemos decir $2$ tuplas son equivalentes si uno es obtenido por una permutación cíclica de los otros. Ahora hay $a$ clases de equivalencia que consta de $1$ elemento y todas las demás clases de equivalencia contener $p$ elementos(Aquí utilizamos el hecho de que $p$ es una de las principales). Ahora, esto implica que $a^{p-1} \equiv 1 \mathrm{mod} p$

Answer 1

Hay una prueba en Andrews libro de teoría de números que va como sigue:

Considere la posibilidad de un circunference con $p$ puntos que corresponden a los vértices de un regular $p$-gon. Cuántos polígonos pueden tener los vértices? $\frac{(p-1)!}{2}$. Hay dos tipos de polígonos, aquellos que son invariantes bajo rotaciones de $\frac{2\pi}{p}$ radianes, y aquellas que dan $p$ diferentes polígonos cuando se gira $p$ veces.

¿Cuántos son los del primer tipo? ellos son los que siguen la regla de que el vértice con número $n$ está conectado a vértices numerados $n+k$. Hay $\frac{p-1}{2}$ de estos.

Llegamos a la conclusión de $\frac{(p-1)!}{2}-\frac{p-1}{2}$ es un múltiplo de a $p$. por lo tanto $(p-1)!-(p-1)$ es un múltiplo de a $p$. por lo $2(p-1)!+1$ es un múltiplo de a $2$, lo $(p-1)!\equiv-1\bmod p$.