¿Cuáles son algunas aplicaciones de otros campos a las matemáticas?

Question

Es habitual considerar las aplicaciones de las matemáticas a otros campos, especialmente a las ciencias exactas. Pero lo que me gustaría saber es el tema inverso, es decir:

¿Cuáles son algunas aplicaciones de otros campos a las matemáticas?

Obviamente, las aplicaciones de la física a las matemáticas son omnipresentes (la teoría gauge es sólo un ejemplo moderno significativo, y los algoritmos cuánticos y simetría de espejo hay otros... la lista de la física continúa). A efectos de esta pregunta (al menos), la informática teórica es sólo una rama de las matemáticas.

Así que las respuestas que implican campos distintos de la física son de especial interés para mí (y las respuestas que implican la informática teórica me interesan poco o nada), así como las respuestas en las que la aplicación no es bidireccional (por ejemplo, se podría decir que la teoría de juegos es una aplicación de las matemáticas a la economía tanto o más que una aplicación de la economía a matemáticas).

Por último (al menos a los efectos de esta pregunta), cualquier cosa de la forma "se observó experimentalmente el fenómeno Y y resultó que había una rica pero hasta ahora desconocida teoría matemática Z que explicaba Y" no es tan interesante como aplicación a las matemáticas a menos que el descubrimiento de Z tenga algún estatus verdaderamente especial. Algo como (por ejemplo) la geometría simpléctica podría entrar en esta categoría (dejando de lado la parte "experimental"), pero no es de especial interés por las razones expuestas anteriormente.

Answer 1

Aquí hay un buen artículo de Sturmfels, sobre la cuestión ¿Puede la biología conducir a nuevos teoremas?

Answer 2

Puedo describir uno que todavía es un poco misterioso para mí. Mis colegas Erwin Lutwak y Gaoyong Zhang y yo hemos demostrado cómo las ideas que surgen de la versión continua de la teoría de la información de Shannon (que normalmente reside en el departamento de ingeniería eléctrica) conducen de forma muy natural a desigualdades analíticas agudas para funciones sobre $R^n$ incluyendo desigualdades de Sobolev agudas generalizadas. Lo que es realmente bueno es que no sólo este punto de vista conduce a las desigualdades, sino que también conduce a pruebas mucho más agradables y fáciles de entender de las desigualdades que las pruebas conocidas anteriormente.

Answer 3

Se me ocurren al menos tres cosas que la pregunta puede y probablemente ayudaría que Steve aclarara cuáles son los que cuentan para él.

(1) Otros campos que sugieren nuevas preguntas para que los matemáticos piensen en ellas, o nuevas conjeturas para que las demuestren. Los ejemplos de este tipo son omnipresentes y representan una parte importante de todas las matemáticas. (Arquímedes, Newton y Gauss se inspiraron en la física; muchos de los grandes del siglo XX se inspiraron en la biología, la economía, la informática, etc.). Incluso para aquellos matemáticos que se enorgullecen de inspirarse lo menos posible en el mundo físico, es discutible lo bien que lo consiguen).

(2) Otros campos que ayudan al proceso de la investigación matemática. Los ordenadores son un ejemplo obvio, pero deduzco que este tipo de aplicación no es lo que Steve tiene en mente.

(3) Otros campos que conducen a nuevos o mejores pruebas para los teoremas que interesan a los matemáticos, incluso independientemente de los otros campos. Esta me parece la interpretación más interesante. Pero plantea una pregunta obvia: si un campo conduce a nuevas demostraciones de teoremas importantes, ¿por qué no deberíamos llame a ¿esa matemática de campo? Una forma de salir de este marasmo de definiciones es la siguiente: normalmente, uno piensa en las matemáticas como si estuvieran dispuestas en un árbol, con la lógica y la teoría de conjuntos en la raíz, los campos "aplicados" como la teoría de la información o la física matemática en las hojas, y todo lo demás (álgebra, análisis, geometría, topología) como troncos o ramas. Las definiciones y resultados de los niveles inferiores se utilizan en los niveles superiores, pero no a la inversa. Desde este punto de vista, lo que la pregunta pide en realidad son ejemplos de "inversiones inesperadas", en las que se utilizan ideas de los niveles superiores del árbol (y, en concreto, de las hojas "aplicadas") para demostrar teoremas de los niveles inferiores.

Estas inversiones existen sin duda, y mucha gente probablemente tiene ejemplos favoritos de ellas, así que parece un buen material para una pregunta de la "gran lista". A riesgo de violar la regla de Steve de "nada de informática teórica", aquí están algunos de mis favoritos:

(i) El algoritmo de búsqueda cuántica de Grover implica inmediatamente la desigualdad de Markov, que

$\max_{x \in [-1,1]} |p'(x)| \leq d^2 \max_{x \in [-1,1]} |p(x)|$

para todos los polinomios reales de grado p, es ajustado.

(ii) La complejidad de Kolmogorov suele ser útil para demostrar afirmaciones que no tienen nada que ver con las máquinas de Turing o la computabilidad.

(iii) Las reglas de la mecánica cuántica para bosones idénticos implican inmediatamente que |Per(U)|≤1 para toda matriz unitaria U.

Answer 4

Hay una conexión entre paseos aleatorios y redes eléctricas (el enlace va al libro de ese título de Doyle y Snell); esto es "física", supongo, ¡pero espero que no del tipo que querías excluir!

Answer 5

Según Gordan, el teorema de base de Hilbert era una aplicación de la teología.