¿Es posible probar que convergen todas las secuencias de Cauchy de números verdaderos sin utilizar el teorema de Bolzano-Weierstrass?

Question

Pregunta: Probar que una sucesión de números reales es convergente si y sólo si es una secuencia de Cauchy.

Actualmente estoy aprendiendo Real-análisis a través de una investigación basada en curso, y estoy tratando de demostrar que la instrucción anterior en el hacia atrás. He probado ya que cada secuencia de Cauchy es limitada (usando una lógica similar a esta prueba), así que ahora estoy tratando de ver cómo puedo utilizar esa información en mi prueba.

La mayoría de las pruebas que he visto a través de internet el uso de la "Bolzano-Weierstrass teorema", que es algo que no está en el texto (y parece que es una muy involucrado prueba), así que estoy tratando de ver si hay otra forma de realizar esta prueba.

Estamos autorizados a suponer que una monótona sucesión es convergente iff es limitado, pero el texto no dice mucho acerca de la monotonía de las secuencias, así que no estoy seguro si esa información es útil o no.

Gracias por cualquier ayuda que me puedan dar en la comprensión de este concepto. Estoy feliz de elaborar en el que puedo.

Answer 1

Ser convergente con límite $(x_n)$ % que $x$. Es también una secuencia de Cauchy en la estimación de $|x_p-x_q|\leq|x_p-x|+|x_q-x|$.

Para la otra dirección, suponga $(x_n)$ es de Cauchy. Puesto que está limitado, podemos definir $x\in\mathbb{R}$ a ser el límite superior de $x_n$. Vamos a comprobar que convergen el $x_n$ $x$:

Fijar $\varepsilon>0$. Que $N\in\mathbb{N}$ ser tal que el $|x_p-x_q|<\varepsilon/2$ % todos $p,q>N$. Que $n>N$ ser tal que el $|x_n-x|<\varepsilon/2$. Entonces, para todos los $k>n$, tenemos $|x_k-x|\leq |x_k-x_n|+|x_n-x|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$. Sigue a convergencia.

Answer 2

Usted puede demostrar que mediante la anidación de intervalos.

Supongamos $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy. Entonces es acotada (fácil lema), dicen que es contenida en $[a_0,b_0]$ y establezca $d=b_0-a_0$.

Puesto que la sucesión es de Cauchy, existe $k_1$, de modo que, para $m,n>k_1$, $|x_m-x_n|<d/4$; en particular, existe una subinterval $[a_1,b_1]\subseteq[a_0,b_0]$$b_1-a_1=d/2$, de modo que $x_m\in[a_1,b_1]$ todos los $m>k_1$.

Ahora podemos iniciar un procedimiento recursivo: si hemos encontrado un subinterval $[a_r,b_r]$$b_r-a_r=d/2^r$$k_r$, de modo que $x_m\in[a_r,b_r]$$m>k_r$, entonces podemos encontrar, con el mismo método que el anterior, $[a_{r+1},b_{r+1}]\subseteq[a_r,b_r]$$k_{r+1}$, de modo que $b_{r+1}-a_{r+1}=d/2^{r+1}$ y, por $m>k_{r+1}$, $x_m\in[a_{r+1},b_{r+1}]$.

Tenga en cuenta que la secuencia de $(a_r)$ es creciente y la secuencia de $(b_r)$ está disminuyendo; convergen al mismo límite de $l$$\lim_{n\to\infty}(b_r-a_r)=\lim_{r\to\infty}d/2^r=0$.

Demostrar que $\lim_{n\to\infty}x_n=l$.

Answer 3

Spivak del Cálculo contiene un sistema de baja tecnología prueba de que cada una secuencia contiene una monótona y larga:

Definición: Si $(x_{n})$ es una verdadera secuencia, definir un punto máximo a ser un índice $N$ tal que $x_{m} \leq x_{N}$ todos los $m > N$.

En palabras, si $N$ es un pico de $(x_{n})$, entonces no hay valor subsiguiente supera $x_{N}$.

Teorema: Si $(x_{n})$ es una verdadera secuencia, existe una monótona y larga $(x_{n_{k}})$.

Prueba (boceto): Si $(x_{n})$ tiene infinidad de pico de puntos, es fácil construir un aumento de la secuencia de $(n_{k})$ del máximo de puntos. La correspondiente subsequence es no creciente en la definición de un pico.

Si $(x_{n})$ tiene sólo un número finito de pico de puntos, vamos a $n_{1}$ ser un índice mayor de cada pico. Desde $n_{1}$ no es un pico, existe un índice $n_{2} > n_{1}$ tal que $x_{n_{2}} > x_{n_{1}}$. Continuar de forma inductiva, la construcción de una estrictamente creciente larga.

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La de Bolzano-Weierstrass teorema sigue fácilmente, ya que es fácilmente demostrado que un delimitada, monótona secuencia de reales es convergente.