El producto infinito de los senos de todos los enteros positivos es igual a cero

Question

Traté de demostrar que $\prod\limits_{k = 1}^\infty {\sin k = 0}$

Definir $$P(m)=\prod\limits_{k = 1}^m {\left|\sin k\right|}$$ entonces me tome el logaritmo de ambos lados $$\log P(m)=\log \prod\limits_{k = 1}^m {\left|\sin k\right|}$$ que puede ser escrito como $$a_m=\log P(m)=\sum\limits_{k = 1}^m {\log\,\left|\sin k\right|}$$ para cualquier $k\in\mathbb{N}$ tenemos $0<\left|\sin k\right|<1$, por lo que todos los términos de la suma anterior es estrictamente negativo.

Yo digo que la secuencia se bifurca: $\left\{a_m\right\}_{m\in\mathbb{N}}\to\,-\infty$

Este es un punto delicado en el que tengo algunas dudas.

Sé que $$\int\limits_0^\pi {\log \left|\sin x\right|{\text{ d}}x} = - \pi \log 2$$ y que la función de $\log \left|\sin x\right|$ es periódica con período de $\pi$, de modo que la integral de 1 a $\infty$ diverge a $- \infty$. Entonces la serie diverge, así como para la integral de la prueba para la convergencia.

Como $\log P(m)\to\, -\infty$ podemos decir que el $P(m)\to\,0$ $m\to\,\infty$

Por lo tanto $$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^m {\left| {\sin k} \right| = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \prod\limits_{k = 1}^m {\sin k = \prod\limits_{k = 1}^\infty {\sin k = } 0} }.\quad \blacksquare$$

Answer 1

Desde $$|\sin(2k-1)\sin(2k)| = \left|\frac{\cos 1-\cos(4k-1)}{2}\right| \le \frac{1+\cos 1}{2} < 1$ $ hemos$$ \begin{align} & 0 \le \left|\; \prod_{k=1}^{n} \sin k\;\right| \le \left|\; \prod_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \sin(2k-1)\sin(2k)\;\right| \le \left(\frac{1+\cos 1}{2}\right)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} \\ \implies & 0 \le \liminf_{n\to\infty} \left|\; \prod_{k=1}^{n} \sin k\;\right| \le \limsup_{n\to\infty} \left|\; \prod_{k=1}^{n} \sin k\;\right| \le \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1+\cos 1}{2}\right)^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor} = 0\\ \implies &\lim_{n\to\infty} \prod_{k=1}^{n} \sin k = 0 \end{Alinee el} $$

Answer 2

Uno puede probar con la irracionalidad de la $\pi$ que hay infinitamente muchos números naturales $\{n_k,k\geqslant 1\}$, que $|\sin(n_k)|<1/2$. Entonces $$\left|\prod_{l=1}^{n_k}\sin l\right|\leqslant \left|\prod_{j=1}^k\sin n_j\right|\leqslant \frac 1{2^k}. concluir tomando límite $k\to +\infty$.

Answer 3

Tenemos $\forall n\in \Bbb N :0<\left|\sin(n)\right|<1$. Por lo tanto, $P(m)$ es no negativa y decreciente. Por lo tanto converge.

Ahora, muestran que $0$ es un punto límite de $\left|\sin(\Bbb N)\right|$. Si usted ya sabe que $\sin(\Bbb N)$ es denso en $[-1,1]$, usted puede usarlo. De lo contrario, marque una de las muchas pruebas en este sitio. El primer paso es por lo general para mostrar que $0$ es un punto límite.

Ahora sigue que no importa lo $\epsilon > 0$ elegimos, el límite de $P(m)$ es menor. A la conclusión de que el límite es de $0$.