Por qué se puede multiplicar por cero

Question

Dividir por cero no está permitido porque da como resultado la misma respuesta (infinito) para cada entrada y, por lo tanto, se considera "indefinido". Multiplicar por cero está permitido, aunque da como resultado la misma respuesta para cada entrada (cero). También me permite empezar con la suposición (1 != 2), multiplicar ambos lados por 0, y demostrar que 0 != 0. ¿Por qué no se trata el cero como un límite, para que la multiplicación por cero no se convierta en un agujero negro para la información. Por favor, perdona el hecho de que no llegué al cálculo, y no he tocado las matemáticas en años, y explícame dónde está equivocado el entendimiento o mi razonamiento se extravió.

Editar/actualizar:

Buenas respuestas, gracias. ¿Puede alguien incluir un ejemplo de algo que no se pueda resolver fácilmente sin multiplicar por cero, para mostrarme que es necesario permitir la operación, en lugar de simplemente no ser contradictorio? Conozco pruebas en lógica formal que requieren asumir "x = X", así que imagino que hay un ejemplo obvio de la necesidad de multiplicar por cero?

Answer 1

Si tienes operaciones de suma y multiplicación que tienen ambas una estructura de grupo e interactúan a través de la ley distributiva y donde $-ab=(-a)b$ tienes $$0=ab-ab=ab+(-a)b=(a-a)b=0b$$

Estas son condiciones muy naturales en una amplia variedad de circunstancias, y conducen a estructuras matemáticas fructíferas y ricas, por lo que tomamos sus efectos en la barbilla.

Answer 2

Esto se debe a que el mapeo $\mathbb{R}\ni x\mapsto 0\cdot x\in\mathbb{R}$ no es inyectiva y, por tanto, no hay inversa, lo que significa que $0^{-1}$ no existe.

EDIT: (perdón por la cantidad de ediciones pero creo que es un punto importante)

este malentendido proviene del siguiente cálculo:

\begin{equation} 0=\lim_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n}=\frac{1}{\lim_{n\in\mathbb{N}}n}=\frac{1}{\infty} \end{equation} por lo que uno podría tener la idea de que \begin{equation} 0^{-1}=\frac{1}{0}=\frac{1}{\frac{1}{\infty}}=\infty \end{equation}

el punto es: ¡los teoremas del límite no se aplican!

cuando miramos de cerca $\lim_{n\in\mathbb{N}} n=\infty$ debemos tener en cuenta que esto es en realidad un mal uso de la notación . no significa que la serie tiende al infinito . tendiendo al infinito significaría $\forall \epsilon > 0 \exists n_{0}\in\mathbb{N}:\forall n\geq n_{0}: \left|n-\infty\right|\leq\epsilon$ que es un completo disparate porque $\left|n-\infty\right|$ siempre es igual a $\infty$ y $\infty$ nunca es menor que $\epsilon\in\mathbb{R}$ .

Lo que la gente quiere decir realmente con $\lim_{n\in\mathbb{N}} n=\infty$ es que la serie no converge en absoluto, sino que se hace arbitrariamente grande. Pero los teoremas del límite no siempre se aplican a esta notación mal utilizada . (no siempre, a veces funciona)

Answer 3

La política de los matemáticos respecto a las definiciones y reglas de deducción tiende a "si no es lógicamente contradictorio, está permitido". En particular, las operaciones "permitidas" no dan lugar a que se deduzcan enunciados falsos de enunciados verdaderos. En este sentido, la multiplicación por cero es perfectamente aceptable. Incluso si se multiplica una falsedad (como $1 = 2$ ) por cero (obteniendo la afirmación verdadera $0= 0$ ), no has cometido un error lógico; simplemente has hecho una deducción vacía.

La excelente respuesta aceptada a esta pregunta explica por qué, en cambio, la división por cero es indefinida. No es porque el resultado sea "infinito". :)

En cuanto a las ventajas de "permitir" la multiplicación por cero, la respuesta de Mark Bennet da la razón algebraica concisa. Sin embargo, yo iría más lejos: Una ecuación de la forma $U = 0$ es casi siempre más fácil de trabajar (tanto en teoría como en la práctica) que una ecuación de la forma $X = Y$ .

Como ejemplo sencillo, considere la resolución de $x^{3} - 2x^{2} - 5x = -6$ en los números reales. Factorizando la izquierda, obteniendo $x(x^{2} - 2x - 5) = -6$ no es de mucha ayuda: Saber que un producto de números es igual a $-6$ no dice casi nada sobre los factores. Por el contrario, mover todo a un lado y entonces La factorización hace valer el poderoso hecho de que un producto de números reales es cero si y sólo si algún factor es cero. Aquí, $$ 0 = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6 = (x - 1)(x + 2)(x - 3), $$ que da inmediatamente todas las soluciones.

Hay muchos más ejemplos de fondo. Por citar sólo uno, veamos $A$ sea una matriz real cuadrada, y consideremos el problema del vector propio, encontrando un vector distinto de cero $x$ y un número real $\lambda$ satisfaciendo $A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$ . Esto es casi imposible de resolver sin utilizar el hecho de que $0 \cdot x = 0$ para todos los reales $x$ .

Answer 4

Resumen

Permitir la multiplicación por $0$ requiere que $0=-0$ . En esencia, eso nunca es un problema. En cambio, aunque permitamos operaciones aritméticas con $\infty$ permitiendo la división por $0$ requeriría que $\infty=-\infty$ . Esto suele considerarse inaceptable porque no es intuitivo y entra en conflicto con la forma en que usamos el $\infty$ en el cálculo (y por otras razones). En las situaciones en las que aceptamos $\infty=-\infty$ , división por $0$ se puede permitir.

Explicación completa

Dividir por cero no está prohibido porque siempre da la misma respuesta. No hay nada malo en una operación que siempre da la misma respuesta. Está prohibido porque siempre hay más de una respuesta o cero respuestas, y para que la división sea útil se espera que produzca exactamente una respuesta.

Entender por qué dividir por cero no está realmente permitido permite ver rápidamente por qué multiplicar por cero es permitido, ya que las situaciones problemáticas que surgen al intentar dividir por cero no se aplican al intentar multiplicar por cero.

• Cuando $x\neq0$ , " $x/0$ " no puede evaluarse a nada que sea un número en el sentido aritmético ordinario de "número". El producto de cualquier número y $0$ es $0$ después de todo, y por lo tanto no será igual a $x$ cuando $x\neq0$ .

• Cuando $x=0$ , " $x/0$ " puede ser cualquier cosa que es un número en el sentido aritmético ordinario de "número". El producto de cualquier número y $0$ es $0$ Después de todo.

Permitir los infinitos al igual que los números finitos no mejora mucho la situación; por sí mismo, utilizar los infinitos como si fueran números no soluciona los problemas que impiden la división por cero. Supongamos que $x/0=\infty$ . Desde $0=-0$ ,

$$\frac{x}{0} = \frac{x}{-0} = -\frac{x}{0} = -\infty.$$

Entonces tenemos $\infty=-\infty$ .

Para decirlo de forma intuitiva, no importa cuántas veces se añada $0$ a $0$ incluso infinitamente, no hay razón para pensar que la propensión a alcanzar un valor mayor sea mayor que la propensión a alcanzar un valor menor. $\infty$ a veces significa "un número positivo muy grande" (con $-\infty$ con el significado de "un número negativo muy grande"). Y $0$ a veces significa "un número muy pequeño". Pero $0$ no significa específicamente "una muy pequeña positivo número".

Hay tres formas de abordar el problema que supone la división ingenua por $0$ para rendir $\infty$ hace $\infty=-\infty$ un teorema.

1. No permita dividir por $0$ incluso cuando se piensa en $\infty$ y $-\infty$ como números--por ejemplo, incluso cuando se utiliza el línea real extendida (afinadamente) . Este es el enfoque típico. Esto no requiere que dejemos multiplicando por $0$ ya que aunque a menudo es problemático decir $\infty=-\infty$ , esencialmente siempre está bien que $0=-0$ .

2. Acepta que $\infty=-\infty$ . Este es el enfoque de la línea real proyectiva y el Esfera de Riemann .

3. Rechaza los números negativos. Si no hay números negativos, entonces tiene sentido y es natural permitir operaciones aritméticas con $\infty$ mientras se considera $-\infty$ para ser sin sentido o indefinido. Entonces $0$ sólo puede abordarse desde la derecha (es decir, el lado positivo de la recta numérica) y cocientes como $1/0$ como todos los demás cocientes de un sistema de este tipo, se garantiza que son positivos si están definidos.

En realidad, rara vez quiere para dividir por $0$ . Después de todo, $0/0$ seguirá siendo indefinido (o se permitirá que sea cualquier número), por lo que el objetivo de poder dividir cualquier cosa entre cualquier cosa sigue sin alcanzarse. Pero muy a menudo queremos que los números puedan ser negativos. Y normalmente nos gusta distinguir entre $\infty$ y $-\infty$ (de modo que, por ejemplo, podemos pensar que un límite que "diverge al infinito" y uno que "diverge al infinito negativo" son "iguales" a valores infinitos distintos).

Una nota final: Para ver la simetría entre la división por $0$ que requiere $\infty=-\infty$ y la multiplicación por $0$ que requiere $0=-0$ Imagínate que no supieras $0=-0$ pero sí sabía que cualquier cosa multiplicada por $0$ es $0$ (y algunas otras reglas de aritmética). $$0(1) = 0 = 0(-1) = -0.$$

¿Cuándo habría que multiplicar por $0$ ?

A menudo. Considera algunos problemas de palabras:

• $375$ significa $5 \times 10^0 + 7 \times 10^1 + 3 \times 10^2$ . ¿Qué es lo que $1001$ ¿quieres decir?
  (Esto debería ilustrar la ubicuidad de la multiplicación por cero).

• Lo único que hay en el armario de Sam son 5 bolsas y las cosas que hay en las bolsas. No hay manzanas en ninguna de las bolsas. (O bien: cada bolsa no contiene manzanas). ¿Cuántas manzanas hay en el armario de Sam?

• Mary y Billy avanzan por una carretera recta, empezando por el indicador de carretera "10 millas". Llegan uno al lado del otro al marcador de la autopista "70 millas". Delante de ellos hay marcadores de millas con valores más altos. Mary sigue conduciendo a 60 millas/hora, mientras que Billy continúa a una velocidad tan lenta que se puede suponer que no se mueve en absoluto. ¿A qué distancia del punto de partida se encuentran Mary y Billy, tres horas después? (Puedes suponer que todos los marcadores de millas son precisos).

• Frannie ha descubierto que no importa cuántas veces añada $0$ a sí misma, obtiene $0$ como la suma. En particular, para todos los enteros positivos $n$ lo ha intentado, $0 + 0 + ... + 0$ con $n$ términos ha sumado a $0$ . ¿Existe una afirmación general sobre la multiplicación con $0$ que podrías darle a Frannie, para explicar (o caracterizar) sus resultados?

Answer 5

Estas son algunas reglas generales

1. Multiplicar ambos lados de una igualdad por cualquier número está permitido, aunque no hay garantía de que esto sea útil o incluso significativo. Multiplicar por cero está bien, pero destruye totalmente cualquier información que estuviera en la igualdad original. Si esto es lo que quieres, ¡que así sea!
2. Multiplicar ambos lados de una desigualdad por un número es generalmente no está bien . Si se multiplica por un positivo cantidad, la desigualdad sigue siendo la misma. Si se multiplica por un negatve la desigualdad se invierte ( $<$ bcomes $>$ y $>$ se convierte en $<$ ). Si se multiplica por cero, la desigualdad se convierte en una igualdad.
3. La división por cero es nunca está bien . Por cierto, la mayoría de los matemáticos no consideran $\infty$ para ser un número sino más bien un concepto. Esa es otra historia.

Buena suerte. Espero que esto ayude.