Las gráficas de las funciones trascendentales no son variedades algebraicas

Question

Intento demostrar que el conjunto cero de $y - e^x$ no es una variedad algebraica afín en $\mathbb{A}^2$ . Mi idea ha sido demostrar que cualquier polinomio que desaparece en los ceros de $y - e^x$ debe desaparecer en todo el plano, ya que entonces el nullstellensatz implicará que este conjunto cero no puede ser una variedad algebraica afín. Pero tengo dificultades para establecer esta condición de fuga. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Pista: Supongamos que $V = \{ y - e^x = 0 \}$ es un subconjunto cerrado. Se interseca con la recta dada por $L = \{y = 1\}$ para obtener $V \cap L = \{ (2 k \pi i, 1): k \in \mathbb{Z}\}$ . El conjunto $V \cap L$ es cerrado como intersección de dos conjuntos cerrados. Deduce una contradicción.

Answer 2

Para cualquier polinomio $P(Y)=a_nY^n+\ldots +a_0$ con $a_n\ne 0$ podemos estimar que ni siquiera se acerca a cero si nos alejamos demasiado del origen: un valor absoluto demasiado grande: Si $|P(y)|<1$ con $|y|>1$ entonces $$|a_ny|\le|a_{n-1}+a_{n-2}y^{-1}+\ldots+a_0y^{n-1}|+|y|^{n-1}\le1+\sum_{k<n}|a_k|,$$ de ahí $$ |y|\le \frac{1+\sum_{k<n}|a_k|}{|a_n|}.$$ Para un polinomio bivariante distinto de cero $P(X,Y)$ considerado como polinómico en $Y$ con coeficientes en $\mathbb C[X]$ el coeficiente principal es $\le1$ en valor absoluto sólo para $x$ por lo tanto, para grandes $x$ podemos estimar $y$ con $P(x,y)=0$ mediante una expresión polinómica en $x$ . Dado que el exponencial crece más rápido que cualquier polinomio, esto es absurdo.