Evaluación de un integral definida real utilizando el residuo en el infinito

Question

Estoy interesado en la evaluación de $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2-x^3)^{1/3}} \ dx $ con integración de contorno y el residuo en el infinito.

Pero no estoy seguro de cómo definir $\displaystyle f(z) = \frac{1}{(z^2-z^3)^{1/3}}$ para que sea bien definido en el plano complejo si se omite la línea segmento $[0,1]$.

Y luego una vez definido, ¿cómo determinar el valor de $f(z)$ sobre el corte de la rama y justo debajo del corte de rama?

Answer 1

Vamos a analizar la función de cada uno de los puntos de ramificación $z=0$ $z=1$ por separado:

• Alrededor de $z=0$, la función $$f_0(z) = z^{-2/3} + O(z^{1/3}).$$ We choose the branch cut such that it extends to $z>0$. Por lo tanto, hemos $$f_0(z) = |z|^{-2/3} e^{-i (2/3)\arg z} + O(z^{1/3})$$ con $0 <\arg z < 2\pi$. Justo por encima de la de la rama de corte (en $z=0^+ + i 0^+$), tenemos $\mathop{\rm arg} z = 2\pi$ e lo $f_0(z) = |z|^{-2/3} e^{-i 4\pi/3} = |z|^{-2/3} e^{i 2\pi/3}$. Justo debajo de la rama de corte (en $z=0^+ - i 0^+$), tenemos $\arg z =0$ e lo $f_0(z) = |z|^{-2/3} .$

• En $z=1$, tenemos un poco de estructura más sencilla. Podemos escribir la función de $$f_1(z) = |z^2- z^3|^{-1/3} e^{-i(1/3) [\arg (z^2 -z^3) + 2\pi n]}$$ que tiene una sucursal corte a lo largo de la línea real de $z<1$. Aquí, $n\in\mathbb{Z}$ será elegido por debajo de esos que las dos expresiones $f_0$ $f_1$ coinciden por $z$ cerca de 0.

Así que, vamos a ver lo que sucede en el $z=0$:

• Justo por encima de la rama de corte, la función de $f_1(z)$ asume la forma $$f_1(x+i 0^+) = |x^2 - x^3|^{-1/3} e^{-i 2\pi n/3} $$

• Justo debajo de la rama de corte, la función de $f_1(z)$ asume la forma $$f_1(x-i 0^+) = |x^2 - x^3|^{-1/3} e^{-i 2\pi/3 - i 2\pi n/3} $$

Se observa que para $n=-1$ hemos encontrado una constante de la rama de corte de la estructura, donde la rama de corte sólo se extiende entre el$z=0$$z=1$.

La función justo por encima de la rama cortada lee $$f(x + i 0^+) = | x^2 -x^3|^{-1/3} e^{i 2\pi /3} .$$ Justo debajo de la rama de corte, tenemos $$f(x - i 0^+) = | x^2 -x^3|^{-1/3} .$$ Para$x>1$, $$f(x)= f_1(x) = |x^2 -x^3|^{-1/3} e^{-i(1/3)(\pi -2\pi)} = |x^2 -x^3|^{-1/3} e^{i \pi/3}.$$ Para$x<1$, $$f(x)= |x^2 - x^3|^{-1/3} e^{-i 2\pi/3}.$$

En general, para $|z| \to \infty$ la función asume la forma $$f(z) = |z|^{-1} e^{-i\arg (z)+i \pi/3} = \frac{e^{i \pi/3}}{z}$$ which gives you the residue $e^{i\pi/3}$ en el infinito.

Por lo tanto, tenemos $$\int_{0}^{1} [f(x - i 0^+) - f(x + i 0^+) ] \ dx = -2 \pi i e^{i \pi/3}$$ o en otras palabras $$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2-x^3)^{1/3}} (1- e^{i 2\pi/3}) \ dx = -2 \pi i e^{i \pi/3}$$ de la que se obtiene (por ejemplo, tomando la parte imaginaria) el resultado $$\int_{0}^{1} \frac{1}{(x^2-x^3)^{1/3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}.$$

Answer 2

Podemos escribir $f(z) = \alpha z^{-1} (1 - 1/z)^{-1/3}$ $\alpha$ siendo una de las raíces cúbicas de $-1$ y utilizar la rama principal de $w \to w^{-1/3}$: tiene una rama para $w$ en el eje real negativo, que corresponde a $z \in (0,1)$.

Ahora para $z = s + i \epsilon$ $0 < s < 1$ y $\epsilon \to 0+$, $1-1/z \sim 1-1/s + i \epsilon/s^2$ acerca $1-1/s$ desde el plano medio superior y $(1-1/z)^{-1/3} \to (1/s-1)^{-1/3} e^{-\pi i/3}$. Si quieres valores reales $f(z)$, $z$ acerca a la rama cortada desde el plano medio superior, por lo tanto desea tomar $\alpha = e^{\pi i/3}$. En el otro lado, $z = s - i \epsilon$, $1 - 1/z \sim 1-1/s - i \epsilon/s^2$, $(1-1/z)^{-1/3} \to (1/s-1)^{-1/3} e^{+\pi i/3}$ y $f(z) \to (1/s-1)^{-1/3} e^{2\pi i/3}$.