Convergencia en las asignaciones de iff de topología producto convergen

Question

Deje $x_1,x_2,\ldots$ ser una secuencia de puntos del espacio del producto $\prod X_\alpha$. Mostrar que esta secuencia converge a un punto de $x$ si y sólo si la secuencia de $\pi_\alpha(x_1),\pi_\alpha(x_2),\ldots$ converge a $\pi_\alpha(x)$ por cada $\alpha$.

$\Rightarrow$ Supongamos que $x_n \to x$. El $\pi_\alpha(x_n) \to \pi_\alpha(x)$ desde cada una de las $\pi_\alpha$ son continuas.

$ \Leftarrow $ Supongamos que $\pi_\alpha(x_n) \to \pi_\alpha(x)$ por cada $\alpha$. Deje $ x \in \prod_\alpha U_\alpha$. Entonces, para algún número natural $N$ $n \geq N$ tenemos $x_n \in \prod_\alpha U_\alpha$. Ahora tenemos $U_\alpha \neq X_\alpha$ por sólo un número finito de $\alpha$, decir $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$. Para cada una de las $j \in 1,\ldots,k$ deje $N_j$ ser tal que $\pi_{\alpha_k}(x_n) \in U_{\alpha_j}$ todos los $n \geq N_j$. Deje $\overline{N}=\max\{N_1,\ldots,N_k\}$. A continuación,$x_n \in \prod_\alpha U_\alpha$$n \geq \overline{N}$.

Estoy atascado en el $\Leftarrow$. He tratado de argumentar a través de..., pero estoy teniendo problemas para hacer mi argumento elocuente (y no estoy seguro de que es correcto).

Answer 1

Su argumento está redactada sólo un poco torpemente, pero la idea básica está bien. He aquí una manera de limpiar un poco.

Deje $A$ ser el conjunto de índices, y supongamos que $\langle\pi_\alpha(x_n):n\in\Bbb N\rangle\to\pi_\alpha(x)$ por cada $\alpha\in A$; queremos demostrar que las $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle\to x$. Para ello vamos a $U$ ser abierto nbhd de $x$$X=\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$. A continuación, hay un número finito de $F\subseteq A$ y abrir conjuntos de $V_\alpha\subseteq X_\alpha$ $\alpha\in A$ tal que $V_\alpha=X_\alpha$ todos los $\alpha\in A\setminus F$, e $$x\in\prod_{\alpha\in A}V_\alpha\subseteq U\;.$$

Para cada una de las $\alpha\in F$ hay un $m_\alpha\in\Bbb N$ tal que $\pi_\alpha(x_n)\in V_\alpha$ siempre $n\ge m_\alpha$; $F$ es finito, así que vamos a $m=\max\{m_\alpha:\alpha\in F\}$. Entonces para cualquier $n\ge m$ tenemos $\pi_\alpha(x_n)\in V_\alpha$ todos los $\alpha\in A$ y por lo tanto $$x_n\in\prod_{\alpha\in A}V_\alpha\subseteq U\;.$$ $U$ was an arbitrary open nbhd of $x$, so $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle\a x$.