Si $L$ es normado y para cada hiperplano $M \cap \operatorname{ball} L^*$ débil*-cerrado implica $M$ débil*-cerrado entonces $L$ es un espacio de Banach

Question

Si $L$ es un espacio normado con la propiedad de que si $M$ es un hiperplano en $L^*$ y $M \cap \operatorname{ball} L^*$ es una estrella débil cerrada $\implies$ $M$ en sí mismo es débil estrella cerrada, entonces ¿cómo puedo mostrar $L$ es un espacio de Banach?

Creo que debería identificar $L$ con $L^{**}$ pero no estoy seguro de cómo demostrarlo.

Answer 1

Dejemos que $\{x_n\}$ sea una secuencia de Cauchy en $L$ . Dejar $i:L\to L^{**}$ sea la inclusión canónica, escribimos $i(x_n)=\hat{x_n}$ . Entonces $\{\hat{x_n}\}$ es una secuencia de Cauchy en $L^{**}$ y, como un dual es completo, existe $\psi\in L^{**}$ con $\|\hat{x_n}-\psi\|\to0$ .

Ahora dejemos que $M=\ker\psi\subset L^*$ y que $M_1=M\cap\text{ball}L^*$ . Queremos demostrar que $M_1$ es una estrella débil cerrada. Sea $\{f_j\}$ sea una red en $M_1$ tal que $f_j\to f$ estrella débil en $L^*$ (es decir $f_j(y)\to f(y)$ para todos $y\in L$ ).

Tenemos, para cualquier $n,m$ con $m\geq n$ y cualquier $j$ , \begin{eqnarray} |\psi(f)|&\leq&|\psi(f)-\hat{x_n}(f)|+|f(x_n)-f_j(x_n)|+|f_j(x_n)-f_j(x_m)|+|f_j(x_m)|\\ &\leq&|\psi(f)-\hat{x_n}(f)|+|f(x_n)-f_j(x_n)|+\|x_n-x_m\|+|f_j(x_m)|. \end{eqnarray} Tomar la primera $\limsup$ cuando $m\to\infty$ obtenemos $$ |\psi(f)|\leq|\psi(f)-\hat{x_n}(f)|+|f(x_n)-f_j(x_n)|+\limsup_m\|x_n-x_m\| $$ (nota que $\lim_mf_j(x_m)=\lim_m\hat{x_n}(f_j)=\psi(f_j)=0$ ). Tomando ahora $\limsup$ en $j$ , $$ |\psi(f)|\leq|\psi(f)-\hat{x_n}(f)|+\limsup_m\|x_n-x_m\|. $$ Por último, tomando $\limsup$ en $n$ obtenemos $$ |\psi(f)|\leq0, $$ así que $\psi(f)=0$ . Esto demuestra que $f\in M_1$ Así que $M_1$ es una estrella débil cerrada. La hipótesis implica entonces que $M$ es una estrella débil cerrada. Así que $\psi$ es continua débil-estelar.

Es un hecho conocido que el dual de $L^*$ considerado con la topología de estrella débil es $L$ sí mismo. Esto significa que los elementos continuos de estrella débil en $L^{**}$ son precisamente los de $i(L)$ . Así que existe $x\in L$ tal que $\psi=\hat{x}$ . Como el mapa de inclusión $i$ es isométrica, tenemos $$ \lim_n\|x_n-x\|=\lim_n\|\hat{x_n}-\hat{x}\|=0. $$ Hemos demostrado que toda secuencia de Cauchy en $L$ es convergente, por lo que $L$ está completo.