Estoy en busca de espacios que son homotópicas equivalente a los números irracionales. ¿Usted me puede ayudar, si has visto algunos ejemplos o referencias?
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Dan Rust
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Cómo sobre un homeomorphism? El espacio de $\mathbb{Q}^2\cap S^1\subset\mathbb{R}^2$ está en correspondencia uno a uno con los números racionales $\mathbb{Q}$ a través de la proyección estereográfica. Deje $N$ ser el polo norte $(0,1)\in S^1$. Como el stereogrphic mapa de proyección $\phi\colon S^1\setminus\{N\}\rightarrow\mathbb{R}$ es un homeomorphism, se sigue que no puede restringir $\phi$ para el dominio $A=S^1\setminus\mathbb{Q}^2$ nos da una homeomorphism entre el $A$ y la imagen de $\phi|_A$ que es el habitual conjunto de los números irracionales como un subespacio de $\mathbb{R}$.
Establecer, $\psi\colon A\rightarrow \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ a ser igual a$\phi|_A$, $\psi$ es un homeomorphism. (De hecho, esto también muestra que el $\phi^{-1}|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}$ es un compactification de la irrationals en el círculo como de su imagen, es denso en $S^1$.)
Espacios de los que se homotopy equivalentes, pero no homeomórficos puede ser más difícil de encontrar (salvo por ejemplo obvio tales como tomar los productos con contráctiles espacios o, más generalmente, los haces de fibras con contráctiles de las fibras). Sin duda un espacio sería difícil describir como debe ser innumerables y con una cantidad no numerable de componentes de la ruta.
