Bifurcaciones para mapa unidimensional

Question

Constrict el mapa 1-dim$F(x,\mu)=\mu-\frac{1}{4} x^2$ as$\mu$ aumenta de$-\infty$ a$5$ y analiza las bifurcaciones.

Comienzo el análisis considerando el$F^2(x,\mu)=\mu^2-\frac{1}{2}\mu x^2+\frac{1}{16} x^4$ Setting$F^2(x,\mu)=0=1/16(x^2-4\mu)^2$ me da las siguientes soluciones:$+-2\sqrt{\mu}$

También son puntos fijos de$F$ Tenemos estabilidad en caso de$+2\sqrt{\mu}$ e inestabilidad en$-2\sqrt{\mu}$ para$\mu>0$. ¿Qué más puedo decir y cómo puedo incluir el valor creciente$\mu$ de$-\infty$ a$5$?

Answer 1

Estoy asumiendo que este mapa corresponde a un sistema escalares de la forma $\dot{x} = F(x, \mu)$. A continuación, los puntos fijos del sistema son aquellos puntos para los que $\dot{x} = F(x, \mu) = 0$. Como usted ha identificado correctamente, las raíces de $F$$\pm 2\sqrt{\mu}$. Ahora, dado que este es un sistema físico, soluciones complejas no son significativos, y $\mu < 0$ no produce una solución a la ecuación de $F(x, \mu) = 0$; desde $\mu < 0$ nos obliga a tomar la raíz cuadrada de un número negativo, podemos decir que el sistema no tiene solución en este caso. A continuación, para $\mu < 0$ no hay solución a la ecuación de $\dot{x} = F(x, \mu) = 0$, y para todos los $\mu \in (-\infty, 0)$ el sistema no tiene puntos fijos.

En $\mu = 0$, el sistema tiene un punto fijo en $x = 0$, ya que el $\mu - \frac{1}{4}x^2 = -\frac{1}{4}x^2 = 0$ implica que el $x = 0$; desde $x = 0$ es la única solución cuando se $\mu = 0$, es el único punto fijo y resulta ser que degeneran en este caso. Como aumentar el $\mu$ sobre $0$, vemos que para cualquier valor de $\mu > 0$ el sistema tiene dos soluciones, es decir, las raíces $\pm2\sqrt{\mu}$, se encuentra por encima (y estos son "permitido", ya que no son números complejos). El efecto neto es que como $\mu$ es mayor a través de $0$, el sistema pasa de no tener puntos fijos a tener $2$ puntos fijos y, como resultado, vemos que una bifurcación se produce. Los dos puntos fijos producidos han opuesto estabilidades, siendo uno estable y otro inestable (como usted correctamente identificados en su post). Para que un sistema de esta forma, pasando de $0$ puntos fijos a $1$ estable de punto fijo y $1$ inestable punto fijo como nos variar de un único parámetro corresponde a una silla-nodo de bifurcación.

Geométricamente, puede ser útil a la imagen de la ecuación de $F(x, \mu) = \mu - \frac{1}{4}x^2$ como una parábola que abre hacia abajo en la $x\mu$ plano (es decir, $x$ está en el eje horizontal y $\mu$ está en el eje vertical). En esta configuración, el $x$-intercepta nos dan las soluciones a la ecuación de $\dot{x} = F(x, \mu) = 0$ y, como resultado, el $x$-intercepta son, precisamente, los valores de $x$ para los que el sistema tiene un punto fijo.

El parámetro $\mu$, a continuación, desliza la parábola en el $x\mu$ plano, ya que aumenta. Los valores negativos de $\mu$ significa que la parábola no toque el $x$-eje en todos (por lo tanto no hay valores de $x$ que $F(x, \mu) = 0$), como se puede ver en la imagen de abajo.

$\hskip2in$

El valor de $\mu = 0$ significa que el máximo de la parábola "rebotes" de la $x$-eje (como se puede ver en la siguiente imagen), que es la razón por la $x = 0$ es la única solución cuando se $\mu = 0$; esta es una doble raíz.

$\hskip2in$

Al $\mu > 0$, la parábola intersecta con el $x$-eje en dos lugares, dando dos soluciones (como se muestra en la última imagen, abajo). En este contexto geométrico, la bifurcación se produce cuando la parábola intersecta con el $x$-eje.

$\hskip2in$

Para una muy informativo y de referencia disponible en sistemas como este, me gustaría recomendar "la Dinámica no Lineal y Caos" por Strogatz.