Parece que elegimos el teorema equivocado para popularizar (diagonalización Cantor)

Question

El Cantor del teorema de diagonalización, lo que demuestra que los reales son innumerables, es un estudio de contrastes. Por un lado, no hay ninguna duda de que es correcta. Por otro lado, no sólo es controvertido, que atrae a un número exorbitante de las bielas. Asaf Karagila compila una excelente lista de varios "de mal humor" preguntas aquí.

He llegado a la conclusión de que las matemáticas populizers incorrectamente han concluido que la prueba de la diagonalización de Cantor es accesible. Ver, por ejemplo, esta en la popular de la prensa de negocios. Mi opinión es que todos estos "populista" pruebas asumir demasiados sofisticados pruebas matemáticas para ser viable.

Específicamente, la norma Cantor prueba supone, sin instrucción, que:

• contable de conjuntos enumerables; es decir, se puede poner en una secuencia
• las secuencias son formas válidas para definir nuevos números (límites de sumas de dinero), a pesar del hecho de que contienen un número infinito de términos
• los inmuebles construidos no en la lista de los "contables" reales es el límite de una secuencia de Cauchy, y por lo tanto es un verdadero número y no racional (que explícitamente hace referencia a la integridad de los reales)

Así que mi pregunta es en cualquiera de los lados de mis ejemplos:

• Dada mi protesta, es el estándar de la prueba por contradicción rescatable para los no-matemáticos; y
• ¿Qué cantidad de rigurosa de las matemáticas es necesario para que esta prueba "de la manivela de la prueba"? Yo diría que lo que he suministrado es suficiente, al darse cuenta de que seria bielas son impermeables a cualquier cosa que no sea en su forma de pensar!

EDIT: Gracias por las respuestas. Creo que tengo una buena idea de donde está la línea de (in)comprensión podría ser. Varias personas han expresado la idea de que los no-matemáticos entender los números reales como infinitos decimales, es decir, a través de su notación estándar. Esto es donde yo creo que los matemáticos están mal, al menos para algunas personas. Creo que mucha gente duda de la existencia de cualquier objeto infinito que parecen requerir un infinito de construcción, como Cantor. Específicos reales, como $\pi$, tiene otras definiciones que parecen "no-infinito". Acepto que aquellos que no pueden comprender el infinito construcciones puede ser una causa perdida para la popularización, pero yo creo que el reconocimiento de esta diferencia es importante.

Answer 1

Estoy de acuerdo en que el Cantor del teorema a veces puede causar confusión, a pesar de que se pueden hacer muchas otras cosas. No estoy de acuerdo con la mayoría de las razones discutidas en la OP.

Que una contables conjunto puede ser considerado como una secuencia es, esencialmente, la definición de contables: una sucesión es una función con dominio de $\mathbb N$, y un conjunto es contable si se admite un bijection con $\mathbb N$, es decir, pueden ser enumerados como una secuencia. Creo que eso no es tan difícil.

No creo que la completitud de los números reales, entra en un camino difícil; el argumento se construye un número real como un decimal infinita, y cualquiera que haya aprendido decimales acepta un decimal infinita como un número real. (De hecho, esta puede ser su trabajo def n de número real.)

En mi experiencia, la mayoría de confusión muy común que uno ve con el argumento de es el siguiente: dado un mapa de $f: \mathbb N \to \mathbb R$, es decir, una secuencia de números reales, se construye un nuevo número real no en la imagen de $f$. Esto puede provocar la confusa reacción de "no podemos simplemente añadir que el nuevo número real a la secuencia"? Así que la confusión parece ser que con la puesta en marcha ($f$ fue arbitraria, y sin embargo lo hemos elegido, no cubre todos los de $\mathbb R$) y los modos de argumentación que son el estándar en matemáticas, pero tal vez desconocidos para la gente fuera de las matemáticas.

Eso no es una sorpresa para mí: cuantificadores, y cuestiones conexas, como la fabricación de elecciones generales, o de probar algo de un objeto $x$ que fue elegido en general (y por lo tanto la conclusión de que la afirmación es verdadera para todas las opciones posibles de $x$) son siempre una fuente de confusión a algunas personas (y no confundir a todos los demás). El papel de la $x$ como una variable ficticia en las integrales es confuso para algunos. El papel de la $x$ en la ecuación de $x+3 = 5$ es confuso para algunos (en algún punto de $x$ era sólo un símbolo y $x+3$ fue un polinomio lineal, pero suddently $x$ se convierte en el número específico $2$).

Funciona correctamente con las ideas de la generalidad y de la especialización siempre va para ser una cosa difícil de enseñar a algunas personas. (En la geometría, que a veces ha suble nociones de posición general, o, en contraste, posición especial, incluso los buenos matemáticos pueden confundirse con respecto a este tipo de problemas!) No creo que el Cantor del argumento es particularmente culpa de esto.

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Otra cuestión es la importancia de este resultado es, y si hay otras piezas de las matemáticas que sería mejor para popularizar. Si yo estaba para argumentar este punto, yo diría que en la elección de la materia (lo que es central a las matemáticas y lo que es más periférica). Pero estas decisiones son siempre algo subjetivo, y en cualquier caso no parece ser la idea central de la OP (que es más acerca de la pedagogía, creo, a continuación, sobre los temas de la materia y sabor; o he entendido mal?).

Answer 2

Lo que usted tiene que darse cuenta es que los no-matemáticos entender los números reales COMO infinito de decimales. Ellos no sienten la necesidad de secuencias de Cauchy y lo que no. También, estos no-matemáticos son completamente cómodo con las cosas que van a durar para siempre. Muchos de los trabajos más recientes sólo estaba tratando de convencer a los matemáticos que lo que habían estado haciendo durante siglos ha sentido. No matemáticos vienen desde el punto de vista de los antiguos matemáticos. El Cantor del trabajo es la razón por la que sabía que me iba a especializarse en matemáticas. Debe ser popularizado por lo menos a H. S Cálculo estudiantes de la OMI.