Encuentro el grado de$K$ en$\mathbb Q$ que es 8. Pero tengo problema para encontrar la estructura del grupo de Galois.
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Mathmo123
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Dado que has encontrado las raíces y ya han calculado el grado de la extensión, aquí es cómo se puede calcular el grupo de Galois.
Las raíces de su polinomio son$$\pm\sqrt{1\pm\sqrt3}$ $ y$K = \mathbb Q(\sqrt{1+\sqrt3}, \sqrt{1-\sqrt3})=K(\sqrt{-6},\sqrt{1+\sqrt3})$.
Sea$\theta$ el automorfismo no trivial que corrige$\mathbb Q(\sqrt{1+\sqrt3})$. Se da por$$\begin{align}\theta:&\sqrt{1+\sqrt3}\mapsto\sqrt{1+\sqrt3}\\&\sqrt{1-\sqrt3}\mapsto -\sqrt{1-\sqrt3}.\end{align}$ $
Sea$\phi$ la fijación del automorfismo$\mathbb Q(\sqrt{-6})$ dada por$$\begin{align}\phi:&\sqrt{1+\sqrt3}\mapsto-\sqrt{1-\sqrt3}\\&\sqrt{1-\sqrt3}\mapsto \sqrt{1+\sqrt3}\end{align}\\$ $
Entonces y $\theta^2=\phi^4 = 1$. Se deduce que el grupo Galois debe ser diédrico.
Considere el polinomio $g(x)=x^2-2x-2$ (que es irreducible), por lo que usted está buscando para la división de campo de la $f(x)=g(x^2)$. Así que, dejando $\alpha,\beta$ ser las raíces de $g$, su campo es $K=\mathbb{Q}[\pm \sqrt{\alpha}, \pm \sqrt{\beta}]$. Tenga en cuenta que $K/L$ donde $L=\mathbb{Q}[\alpha,\beta]=\mathbb{Q}[\alpha]$ es de Galois con grupo de $\mathbb{Z}_2^2$ que cambia los signos antes de $\sqrt{\alpha},\sqrt{\beta}$. Dado que el grupo tiene orden de 8, sólo hay 5 posibilidades, y ya se puede descartar la cíclico grupo y los cuaterniones ya que ambos de ellos tienen sólo un elemento de orden 2. Si podemos demostrar que el grupo no es abelian, a continuación, el grupo debe ser diedro.
Considerar el elemento $\lambda = \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}$. Su plaza es $\alpha+\beta+2\sqrt{\alpha\beta}=2+2\sqrt{-2}$, de modo que $(\lambda^2-2)^2+8=0$. De ello se desprende que $[\mathbb{Q}[\lambda]:\mathbb{Q}]\leq 4$, y, en particular,$\mathbb{Q}[\lambda]\neq K$. Con el fin de mostrar que el grupo de Galois no es abelian, es suficiente para demostrar que $\mathbb{Q}[\lambda]/\mathbb{Q}$ no es Galois. La aplicación de la Galois de acción que corrige $\sqrt{\alpha}$ y multiplicar por -1 el elemento $\sqrt{\beta}$ obtenemos el campo de $\mathbb{Q}[\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}]$ cual es diferente a la $\mathbb{Q}[\lambda]$, ya que de lo contrario se contienen tanto en $\sqrt{\alpha}$ $\sqrt{\beta}$ y, a continuación, $\mathbb{Q}[\lambda]=K$ lo cual no es cierto. De ello se desprende que $\mathbb{Q}[\lambda]/\mathbb{Q}$ no es Galois, por lo que su grupo de Galois es no abelian y por lo tanto debe ser diedro.
EDIT: El grupo de Galois debe ser del orden de 8. La primera de todas las $f(x)$ es irreductible por el criterio de Eisenstein. El polinomio $f(x)$ tiene una raíz real $\gamma$ porque $f(0)=-2$$lim_{x\to \infty}f(x)=\infty$. De ello se desprende que la adición de esta raíz nos da $[\mathbb{Q}[\gamma]:\mathbb{Q}]=4$$\mathbb{Q}[\gamma]\subseteq \mathbb{R}$. Desde $g$ tiene un negativo de la raíz (la libre coeficiente es negativo) y las raíces de $f$ son el plus minus las raíces cuadradas de las raíces de $g$, $f$ también debe tener un nonreal raíz, de modo que $[K:\mathbb{Q}]>4$ y es divisible por 4. Utilizando la notación desde el comienzo de la respuesta, tenemos que $$[K:\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}[\sqrt{\alpha},\sqrt{\beta}]:\mathbb{Q}[\sqrt{\alpha},\beta]][\mathbb{Q}[\sqrt{\alpha},\beta]:\mathbb{Q}[\alpha,\beta=2-\alpha]][\mathbb{Q}[\alpha]:\mathbb{Q}]\leq 2\cdot 2\cdot 2=8$$ por lo que la extensión debe tener el grado 8.
Mustafa
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Podemos determinar el grupo de Galois con el teorema:
Debe ser$q(x)=x^4+bx^2+c\in k[x]$ polinomio irreducible sobre$k$ y tiene dos raíces distict$\alpha, \beta$ y$G=Gal(k(\alpha, \beta),k)$ entonces
$1)$ If$\sqrt c \in k$ entonces$G\cong\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$
$2)$ If$\sqrt c \notin k$ y$\sqrt{c(b^2-4c)} \in k $ y$G\cong\mathbb Z_4$ irreducible sobre$q_1(x)=x^2+bx+c$$k(\sqrt c)$ If$3)$ y$\sqrt c \notin k$ y$\sqrt{c(b^2-4c)} \notin k $ irreducible sobre$G\cong D_4$
