Un objeto finito en Conjunto es un Conjunto finito

Question

Me gustaría demostrar que un objeto de $\bf{Set}$ es finito iff es un conjunto finito. Objeto finito se define como un ser pequeño con respecto a un número finito cardenal; aquí está la definición de pequeñez estoy asumiendo que:

"Vamos a $k$ ser un cardenal y $\mathscr{C}$ un cocomplete categoría. Un objeto $A \in \mathscr{C}$ se dice $\textit{$k$-small}$ fib para todos los $k$-filtrada ordinal $\lambda$ ($cof(\lambda) >k$ estrictamente) y para todos los colimit preservar-functors $X: \lambda \to \mathscr{C}$ tenemos que la canónica de morfismos de conjuntos de $$colim_{\beta<\lambda}\mathscr{C}(A,X_{\beta}) \to \mathscr{C}(A,colim_{\beta < \lambda} X_{\beta})$$ es un isomorfismo".

Soy capaz de demostrar que el "conjunto finito$\implies$objeto finito", pero a la inversa me da algunos problemas. Traté de suponer que a es un conjunto infinito y el uso es la cardinalidad como un infinito cardenal que le da un absurdo con un iso, pero me atoré..

Cualquier ayuda o cualquier sugerencia es bienvenida! Gracias de antemano :)

Answer 1

Estoy perdiendo algo o sólo le falta el lado fácil de [LPAC] Ejemplo 1.2.1?

Cada conjunto es la colimita dirigida de sus subconjuntos finitos. Por lo tanto, si$K$ es un objeto finito, entonces debe tener que$1_K\colon K\to K=\varinjlim{}_{F\in \mathcal P_0(K)} F$ debe factor a través de una de las inclusiones de un subconjunto finito de$K$; Por lo tanto$K$ es un conjunto finito.

Answer 2

Podría ser el siguiente ingenuo contra-ejemplo? Es decir, un conjunto infinito, que no es pequeño.

Mejor aún: podría ser generalizado como para demostrar "conjunto infinito" $\Longrightarrow$ "no objeto finito"?

No sé: sólo estoy preguntando. Así que considere esto como una pregunta, más que una respuesta si lo desea.

Tomar como $\mathcal{C}$ la categoría de conjuntos, $\mathbf{Set}$, $A = \mathbb{N}$ y $X : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbf{Set}$ el functor $X_n = \{ 1, \dots , n \}$. Luego, en la izquierda handside de su canónica de morfismos tendría:

$$ \mathrm{colim}_n \mathbf{Set}\ (\mathbb{N}, X_n) = \mathrm{colim}_n \{1, \dots , n \}^{\mathbb{N}} = \bigcup_n \{1, \dots , n \}^{\mathbb{N}} \ . $$

Aquí, $\{1, \dots , n \}^{\mathbb{N}} $ es el conjunto de todas las secuencias que usted puede hacer fuera de la primera $n$ números naturales.

Por otro lado, en el otro extremo de la canónica de morfismos, se tendría:

$$ \mathbf{Set}(\mathbb{N}, \mathrm{colim}_n X_n) = \mathbf{Set}(\mathbb{N}, \mathbb{N}) = \mathbb{N}^{\mathbb{N}} \ . $$

Es decir, el conjunto de todas las secuencias de números naturales.

Entonces, su canónica mapa no puede ser un bijection. Es decir, la secuencia de los números naturales $(n) = (1, 2, 3, \dots , n, \dots )$ pertenece a $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$, obviamente, pero no pertenecen al conjunto en el lado izquierdo, ya que no pertenecen a ninguno de los subconjuntos $ \{1, \dots , n \}^{\mathbb{N}} $.