Pregunta: Supongamos que $[L:K]=4$ y char $K \neq 2$ y $L$ es algebraicamente cerrado. Demuestre que existe un campo intermedio $M$ tal que $[L:M]=2$ y que $X^2 + 1$ se divide en $M$ . Demuestre que esto lleva a una contradicción.
He encontrado con éxito tales $M$ . ¿Podría alguien darme alguna pista para la última parte?
Hay una $i\in M$ tal que $i^2=(-1)$ . Desde $[L:M]=2$ Hay un $d\in M$ tal que $L=M(\sqrt{d})$ .
Desde $L$ es algebraicamente cerrado, existe un $\alpha\in L$ tal que $\alpha^2=\sqrt{d}$ . Puede escribir $\alpha=x+y\sqrt{d}$ con $x,y\in M$ . Entonces $\alpha^2=(x^2+dy^2)+(2xy)\sqrt{d}$ y $x^2+dy^2=0, 2xy=1$ (¿por qué?).
Ahora, $y\neq 0$ (¿por qué?), así que $(\frac{x}{y})^2=-d$ , $(i\frac{x}{y})^2=d$ . Observe que $i\frac{x}{y} \in M$ y deducir una contradicción de esto.
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