Ejemplo: Krull dimensión 1 pero no un PID

Question

Es fácil demostrar que si $A$ es un PID que no es un campo, entonces $\dim A= 1$ . ¿Cuál es el contraejemplo de lo contrario? Gracias por cualquier idea.

Answer 1

No estoy seguro de cuánto sabes de geometría algebraica, pero una forma de pensar en el fracaso de la factorización única es que hay alguna singularidad en la variedad asociada.

Así, un ejemplo sería $A=k[t^2,t^3]$ . Este tiene dimensión de Krull 1 (ya que su campo de fracción es $k(t)$ ), el ideal $(t^2,t^3)$ no puede ser generado por menos de dos elementos.

Answer 2

$\mathbb Z[\sqrt{-n}]$ , para $n\ge 3$ y libre de cuadrados, es unidimensional (¿por qué?) y no es un UFD .