¿Existe un enfoque de "función parcial" de los subobjetos en la teoría de categorías?

Question

Dada una relación $f : X \rightarrow Y$ definamos que el fuente de $f$ es $X$ y que el dominio de $f$ es el conjunto de todos $x$ de tal manera que existe $y \in Y$ satisfactoria $(x,y) \in f$ . Por lo tanto, el dominio de una función parcial es el conjunto de todas las entradas para las que está definida.

Ahora, dado un conjunto $X$ un subconjunto de $X$ puede caracterizarse como una función parcial $f : X \rightarrow 1$ . (Intuitivamente, el subconjunto representado por $f$ es precisamente el dominio de $f$ ). Esto es bastante conveniente, porque la imagen previa de un "subconjunto" $f$ bajo una relación $g$ puede simplemente por escrito $f \circ g$ donde $ \circ $ denota la composición de las relaciones.

De manera similar, dado que un grupo $G$ un subgrupo de $G$ puede caracterizarse como una función parcial $f : G \rightarrow 1$ con la propiedad que el dominio de $f$ es de hecho un subgrupo de $G$ en el sentido clásico.

Mi pregunta es: ¿tienen las observaciones anteriores alguna aplicación o interpretación teórica de categoría interesante? ¿Y existe un enfoque de "función parcial" de los subobjetos en la teoría de categorías, sea lo que sea que eso signifique?

Answer 1

Sí, hay incluso más enfoques para esto.

1. Normalmente, en una categoría (clásica, de función total), un subobjeto de un objeto $X$ se define como monomorfismo $D\hookrightarrow X$ y luego un función parcial $X\cdot\!\!\to Y$ se define como un tramo con este $D\hookrightarrow X$ y $D\to Y$ . Aquí, si $1$ es el objeto terminal El $X\cdot\!\!\to 1$ Las "flechas parciales" corresponden efectivamente a los subobjetos.

2. La categoría de conjuntos y relaciones se generaliza a la noción de alegoría . Una alegoría es una categoría enriquecida sobre los posets (cada homset tiene un orden parcial, que era originalmente el inclusión para las relaciones), y cada morfismo $r:A-B$ tiene un converse $r^\circ:B-A$ .

En una alegoría, un morfismo $f:A-B$ se llama mapa parcial si $f^\circ f\le 1_B$ (la composición se escribe a la derecha).

Descubra la reformulación de inyectiva , surjective relaciones y la de funciones totales .

Un subobjeto también puede definirse como cualquier flecha $r:A-A$ tal que $r\le 1_A$ . Se puede demostrar que existe una correspondencia de funciones totales inyectivas y este tipo de subobjetos. (Entre las relaciones, también por simetría, el objeto terminal coincide con el objeto inicial, y es el conjunto vacío).

Por suerte, cualquier tipo de estructuras algebraicas (más aún, cualquier categoría con productos directos y pullbacks) da lugar a una alegoría de las relaciones en su interior.

Answer 2

La forma habitual de interiorizar la noción de subobjeto es la de clasificador de subobjetos . Ver wikipedia y nLab .

En lugar de funciones parciales, la idea principal es, en el caso de $\mathbf{Set}$ para definir $\Omega = \{ F, T \}$ y representar un subobjeto por su función indicadora

$$\chi_S : X \to \{ F, T \} : x \mapsto \begin{cases} F & x \notin S \\ T & x \in S \end{cases} $$

La condición de que $S$ es el subobjeto clasificado por $\chi_S$ es que el siguiente cuadrado

$$ \begin{matrix}S &\to& 1 \\ \downarrow & & \downarrow \\ X &\xrightarrow{\chi_S}& \Omega \end{matrix} $$

es un diagrama de retroceso, donde $1 \to \Omega$ es la función que escoge el elemento $T$ . En $\mathbf{Set}$ el pullback canónico se define por

$$ \{ (x, *) \in X \times 1 \mid \chi_S(x) = T \} $$

que es naturalmente biyectiva al conjunto

$$ \{ x \in X \mid \chi_S(x) = T \} = S $$

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Si te gustan mucho las funciones parciales, existe un tipo especial de categoría llamada alegoría que es análogo a los conjuntos y las relaciones binarias en lugar de los conjuntos y las funciones. Véase la respuesta de Berci para más detalles.