EDIT: Espero que esto aclare más mi respuesta.
Se sabe que un entramado modular es distributivo si, y sólo si, su diagrama de Hasse no incluye un enrejado de diamante . Véase, por ejemplo, el comienzo del capítulo II, Distributive Lattices, de Teoría general de retículos por George A. Gratzer.
Sea $\mathcal{S}(M)$ sea la red modular de submódulos de un módulo $M$ . El Teorema de Correspondencia para submódulos dice que la red $\mathcal{S}(M/N)$ de submódulos de un cociente $M/N$ es isomorfo a la red { $L\leq M\mid N\leq L$ }, es decir, la parte de la red $\mathcal{S}(M)$ que está por encima del elemento $N$ .
Tenga en cuenta que si $M$ tiene serie de composición, entonces cada submódulo y cada cociente también tiene serie de composición.
Supongamos que $\mathcal{S}(M)$ no es distributiva. Entonces podemos encontrar un diagrama de diamante en algún lugar de esta red, con un submódulo $N$ en la parte inferior, $L$ en la parte superior y $S,T$ y $U$ en el centro. Por lo tanto, en la red $\mathcal{S}(M/N)$ si $L'=L/N, S'=S/N,T'=T/N$ y $U'=U/N$ entonces $L'=S'\oplus T'=S'\oplus U'=T'\oplus U'$ . Ahora $L'$ también tiene una serie de composición, así que por el Teorema de Jordan-Hölder debemos tener que dos de los tres módulos simples $S', T', U'$ son isomorfas. Por lo tanto $M$ tiene un subcociente, a saber $L/N$ que es isomorfo a, digamos, $S'\oplus S'$ .
A la inversa, si existe tal subcociente $L/N$ entonces es la suma directa de dos submódulos simples, ambos isomorfos a un módulo simple $S$ . De hecho existe un tercer submódulo, que es isomorfo a { $(x,x)\in S\oplus S\mid x\in S$ }. Por lo tanto tenemos un diagrama de diamante en $\mathcal{S}(M/N)$ que, de nuevo por el Teorema de Correspondencia, también aparece en $\mathcal{S}(M)$ entre $N$ y $L$ . Esto significa que la red no es distributiva.
