Si tengo una función convexa$f:A\to \mathbb{R}$, donde$A$ es un conjunto convexo, limitado y cerrado en$\mathbb{R}^n$, por ejemplo$A:=\{x\in\mathbb{R}^n:\|x\|\le 1\}$ la bola unidad. ¿Esto implica que$f$ es continuo? He buscado en la web y no encontró un teorema para esta configuración (o que es aplicable en este caso). Si la afirmación es cierta, se agradecería una referencia.
Respuestas
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No. Una función convexa es continua en el interior de su dominio, pero no necesita ser continua en el límite.
Por ejemplo, con$A = \{ x \in \mathbb{R}^n : \lVert x\rVert \leqslant 1\}$, donde$\lVert \cdot\rVert$ es la norma euclidiana (o cualquier norma estrictamente convexa), la función
ps
Es convexa para cada$$f(x) = \begin{cases}0 &, \lVert x\rVert < 1\\ g(x) &, \lVert x\rVert = 1 \end{cases}$.
Liviu Nicolaescu
Puntos
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La continuidad de las funciones convexas definido en topológico vectores de espacios es bien entendido. Para las funciones definidas en un finito dimensional espacio de Banach, es decir, $\mathbb{R}^n$, la clásica monografía de Análisis Convexo por R. T. Rockafellar es un buen lugar para comprobar. Primero, permítanme señalar un simple truco utilizado en análisis convexo. $\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}$
Si $C\subset \bR^n$ es un conjunto convexo y $f: C\to \bR$ es una función convexa, entonces podemos definir una extensión
$$ \hat{f}:\bR^n\(- \infty,\infty],\;\; \hat{f}(x)=\begin{cases} f(x), \;\; x\in C\\ \infty, &x\in\bR^n\setminus C.\end{casos} $$
La anterior extensión es, obviamente, convexo. Por tanto, bien podemos trabajar desde el principio con las funciones convexas $f:\bR^n\to (-\infty,\infty]$. El conjunto donde $f<\infty$ es llamado el dominio de $f$ y se denota por a $D(f)$. El dominio es un subconjunto convexo de $\bR^n$. Lleva un inducida por la topología y el interior de $C$ con respecto a la inducida por la topología se llama la relativa interior.
Teorema 10.1 en el mencionado libro de Rockafellar muestra que la restricción de una función convexa a la relativa interior de su dominio es una función continua.
Por ejemplo, cualquier convexa de la función definida en la bola unidad cerrada en $\bR^n$, debe ser continua en el interior de la bola. Daniel Fisher muestra el ejemplo de la que es la mejor que se podía esperar.
