¿$\mu(x+B)= \mu(B)$ Para todas las bolas$B$ implica que$\mu$ es igual a la medida de Lebesgue (hasta la escala)?

Question

Supongamos que $\mu$ es una medida en $(\mathbb{R}^d,\mathcal{B}(\mathbb{R}^d))$ tal que $\mu(K)<\infty$ para cualquier conjunto compacto $K$ y

$$\mu(x+B) = \mu(B) \tag{1}$$

para todos los $x \in \mathbb{R}^d$ y abrir bolas $B$. ¿Esto implica que $\mu$ es igual a una constante de la medida de Lebesgue $\lambda^d$, es decir, es que el $\mu = c \lambda^d$ para algunas constantes $c \in [0,\infty]$?

Mis intentos:

• Es bien sabido que si $(1)$ mantiene para todos ($d$-dimensional) rectángulos, entonces la afirmación es verdadera. Así que si se sabía que cualquier rectángulo puede ser cubierto por distintos bolas, entonces tenemos que hacer. Sin embargo, hasta donde yo sé, esto no es realmente posible. (Ver esta pregunta)
• Definir $$\mathcal{D} := \{A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^d); \forall x: \mu(x+A) = \mu(A)\}$$ and show that $\mathcal{D}$ is a Dynkin system. If we knew this, then the fact that the balls are contained in $\mathcal{D}$ would imply $\mathcal{D} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$. My problem: Since $\mu$ is (in general) not a finite measure, I don't see how to prove the implication $\in \mathcal{D} \implica Un^c \in \mathcal{D}$. I also considered defining $$\mathcal{D}_R := \{A \in \mathcal{B}(B(0,R)); \forall x: \mu(x+A) = \mu(A)\};$$ then it is easy to show that $\mathcal{D}_R$ is a Dynkin system, but, unfortunately, we cannot conclude that the balls are contained in $\mathcal{D}_R$ (since the intersection $B \cap B(0,R)$ es, en general, no una pelota).

Cualquier idea, contraejemplos,...?

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Edit: @NateEldredge sugerido como un contraejemplo a la medida $$\mu(A) := \sum_{q \in \mathbb{Q}} \delta_q(A)$$ in case that $\mu$ no necesita ser finito en conjuntos compactos.

Answer 1

Sí, esto es cierto. La siguiente se basa en la prueba de la unicidad de la medida de Haar en Hewitt y Ross (si mal no recuerdo):

La idea general es escribir un arbitrario $C_c$ función como una infinita combinación lineal de funciones características de las bolas. Rigurosamente, esto equivale a la aproximación por la convolución.

Yo denotar la costumbre Lebeague medida por $\lambda$, y la integración en contra de esta medida está escrito $dx$.

Para $\epsilon >0$, vamos a $f_\epsilon = \chi_{B_\epsilon}/\lambda(B_\epsilon)$ donde $\chi_{\dots}$ denota la función de indicador de la establecida en el índice de e $B_\epsilon$ es el balón con el radio de $\epsilon$ alrededor del origen.

Deje $h\in C_c$ ser arbitraria. Es un clásico hecho de que la convolución $f_\epsilon \ast h$ converge localmente uniformemente a $h$, tiene soporte en un conjunto compacto (para $0<\epsilon<1$) y es uniformemente acotada. El uso de convergencia dominada, obtenemos $f_\epsilon \ast h \to h$ $L^1(\nu)$ o cada localmente finito de medida $\nu$.

Por lo tanto,

$$ \begin{eqnarray*} \int h d\mu &=&\lim_\epsilon \int f_\epsilon \ast h d\mu\\ &=& \lim_\epsilon \int\int f_\epsilon (y) h(x-y)\, dy \, d\mu (x)\\ &\overset{z=x-y}{=} &\lim_\epsilon \int \int f_\epsilon (x-z) h(z)\,dz \, d\mu (x)\\ &\overset{Fubini}{=}& \int h(z)\int f_\epsilon (x-z)\,d\mu (x)\, dz\\ &=& \lim_\epsilon \int h(z)\, dz \cdot \frac{\mu (B_\epsilon )}{\lambda (B_\epsilon )}. \end{eqnarray*} $$

Corregir algunos $h_0\in C_c$$h\geq 0$$h\not\equiv 0$. A continuación, el cálculo anterior muestra

$$ c:=\frac{\int h_0 \,d\mu}{\int h_0dx}=\lim_\epsilon \frac{\mu (B_\epsilon)}{\lambda(B_\epsilon)} $$ (en particular, el límite existe y tomamos el límite de $\epsilon \downarrow 0$), así como

$$ \int h\,d\mu =c \int h \,dx $$ para todos los $h \in C_c$. Esto implica la reclamación.

Answer 2

[ editar - esto está mal. ]

$\newcommand{\ball}{\mathbf{B}_N} \DeclareMathOperator{\Leb}{Leb}$En realidad, mi comentario no es 100% correcto. Debemos asumir también que le asignamos (decir) $c=\mu([0,1]^d)<∞$. De esto podemos obtener fácilmente que $$ \mu (A) = c\Leb(A)$$ para cualquier rectángulo $A=∏_i[a_i,b_i)$ tal que $b_i,a_i ∈ \mathbb{Q}$. Vamos \begin{align} P :=& \{\text{all such rational rectangles %#%#%}\} \\ L_N:=&\{A∈\mathcal{B}(ℝ^d) : \mu (A∩ \ball) = c\Leb(A∩ \ball) \} \end{align} donde $A$ es la pelota alrededor de $\ball$ radio $\mathbf{0}$. (La prueba podría ser más fácil si utiliza un cubo de alrededor de 0 de radio $N<∞$) Podemos comprobar que el $N$ es un π-sistema, $P$ $L_N$- sistema y $\lambda$. Así por Dynkin $P ⊂ L_N$ Teorema, $\pi-\lambda$$

Así que tenemos $$ \mathcal{B}(ℝ^d) = \sigma( P ) ⊂ L_N $ cualquier $\mu (A∩ \ball) = c\Leb(A∩ \ball)$; el envío de $N$ da el resultado.

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Creo que este es razonablemente estándar, me he adaptado a él desde mi descontextualizada notas escritas para la 1D caso.

(respuesta a los comentarios)En la 1D caso: se puede conseguir $N→∞$$$\mu[0,k) = \mu [0,1) + … + \mu[k-1,k)= c \text{Leb}[0,k)$\sigma$ by translation invariance and $$-additivity. Then $$\mu [0,k) = q\mu[0,k/q) = c \text{Leb}[0,k)$q\in\mathbb{N}$ for any $\sigma$, again by TI and $k,p$-additivity. Now translate by a rational coordinate; $P⊂ L_N$ en la 1D caso.

La misma prueba de obras en $ was arbitrary, so this proves that $ dimensiones, en primer lugar "fijar" el último $d$ coordenadas. la misma construcción de los rendimientos $d-1$$ para una arbitraria racional $$\mu[a_1,b_1)\times[0,1)^{d-1} = c \text{Leb}[a_1,b_1)\times[0,1)^{d-1}$. Repetir una vez para cada dimensión se obtiene el resultado.