Cómo encontrar el% integral% #% donde$\lim_n \int_{-1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}f(x)}{1+n x^2}dx$ es continuo e integrable en$f$

Question

Cómo encontrar la integral$\lim_n\int_{-1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}f(x)}{1+n x^2}dx$ donde$f$ es continua e integrable en$\mathbb{R}$.

Intenté cambiar la variable$\int_{-1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}f(x)}{1+n x^2}dx=\int_{-\sqrt{n}}^\infty \frac{f(x/\sqrt{n})}{1+x^2}dx$. Pero$f$ no puede ser limitado, supongo que el límite es$f(0)\pi$.

Answer 1

Dividir la integral: \begin{align} \int_{-\sqrt n}^{\infty} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2} dx & = \int_{-\sqrt n}^{\sqrt n} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2} dx + \int_{\sqrt n}^{\infty} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2}dx \\ \lim_{n\to\infty} \int_{-\sqrt n}^{\infty} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2} dx & = \lim_{n\to\infty} \int_{-\sqrt n}^{\sqrt n} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2} dx + \lim_{n\to\infty} \int_{\sqrt n}^{\infty} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2}dx. \end{align} La segunda integral se vaya a $0$ porque $$ \int_{\sqrt n}^\infty \left|\frac{f(x / \sqrt n)}{1 + x^2}\right| dx \le \left(\int_{\sqrt n}^{\infty} |f(x / \sqrt n)| dx\right) \frac{1}{1 + n} \le \frac{C\sqrt n}{1 + n} $$ y la mano derecha va a $0$ $n \to \infty$. ($C$ existe debido a $f$ es integrable.)

A continuación, establezca $$ g_n(x) = \begin{cases} \frac{f(x/\sqrt n)}{1 + x^2} & ; x \in [-\sqrt n, \sqrt n] \\ 0 & ; x \notin [-\sqrt n, \sqrt n] \end{casos} $$ El límite en cuestión es $\lim_{n\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g_n(x) dx$. Cada una de las $|g_n|$ está delimitado por $\frac{\sup_{\xi \in[-1, 1]} |f(\xi)|}{1 + x^2}$, por lo que el teorema de convergencia dominada se aplica. (Sabemos que $f$ está delimitado en $[-1, 1]$ porque es continua.) El pointwise límite de$g_n$$g(x) = \frac{f(0)}{1 + x^2}$, y su integral es $f(0)\pi$, como se especuló.

Answer 2

Tenga en cuenta que $\int_1^\infty \frac{\sqrt{n}|f(x)|}{1+n x^2}dx \le \int_1^\infty \frac{\sqrt{n}|f(x)|}{1+n}dx \le \frac{\sqrt{n}}{1+n} \int |f|$, y por lo tanto va a cero.

Nos quedamos con $ I_n =\int_{-1}^{1}\frac{\sqrt{n}f(x)}{1+n x^2}dx $. Mediante la sustitución de $u = \arctan \sqrt{n}x$,$du = { \sqrt{n} \over 1 + n x^2} dx$, por lo que la integral se convierte en $I_n = \int_{- { \arctan \sqrt{n}}}^{\arctan \sqrt{n}} f ({1 \over \sqrt{n}} \tan u) du$.

Ahora vamos a $g_n(u) = f ({1 \over \sqrt{n}} \tan u) 1_{(-\arctan \sqrt{n},\arctan \sqrt{n}) } (u)$, y tenga en cuenta que $g_n(u) \to f(0)1_{(-{ \pi \over 2}, { \pi \over 2} )}(u)$, desde $f$ es continua en a $0$.

Desde $f$ es continua en a $[-1,1]$, es limitada, por lo tanto $g_n$ es uniformemente acotada y, por tanto, la DCT se aplica.

De ello se desprende que $\lim_n I_n = \lim_n \int g_n = \pi f(0)$.