Caracterización por tensor

Question

Quiero mostrar que$T^{1}_{1}(V)$ es isomorfo a$End(V)$. Sé cómo producir un mapa lineal de$h:End(V)$ a$T^{1}_{1}(V)$, es decir, enviar$f \in End(V)$ a$hf(w,v) = w(f(v))$, pero cómo anotar su inverso explícitamente ya que quiero calcular la traza De su inversa?

Answer 1

El truco aquí es que este hecho sólo se aplica para un finito-dimensional espacios vectoriales $V$, por lo que, en orden a establecer, estamos obligados a tratar con algún tipo de "prueba de la dimensionalidad", por ejemplo, una base.

Aviso, que los elementos de la $T^1_1(V)$ son finito de sumas de "simple" tensores, es decir, los objetos de la forma $v \otimes \phi$ para algunos vectores $v \in V$ y un "covector" $\phi \colon V \to k$ (lineal en el mapa) donde $k$ es el campo base, por ejemplo, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$.

Supongamos, que $\{ e_i \}_{i=1,\dots,n}$ es una base en la $V$ donde $n = \dim V$.

Tenemos la base dual $\{ \widehat{e}_j \}$ $T_1 := V^* := Hom(V,k)$ y los elementos de la base dual se define en $v = \sum_i v^i e_i$$\widehat{e}_j (v) = v^j$.

Ahora, cualquier elemento $t \in T^1_1(V)$ únicamente se representa como $$t = \sum_{1 \leq j,k \leq n} a_{jk} e_j \otimes \widehat{e}_k \etiqueta{*}$$

(Piense en una matriz de $A = (a_{ij})$ de la endomorfismo que nos espera!)

Es evidente, que para $t$ $(*)$ podemos asignar un endomorfismo $$v = \sum_{i} v^i e_i \mapsto \sum_{1 \leq j,k \leq n} a_{jk} e_j \otimes \widehat{e}_k (v) = \sum_{1 \leq j,k \leq n} a_{jk} v^k e_j \etiqueta{**}$$

Queda por comprobar que $(*) \to (**)$, de hecho, los rendimientos de la inversa de su asignación.

Os dejo las verificaciones y las conclusiones finales. Si tengo tiempo más tarde, voy a tratar de actualizar esta respuesta, y. en particular, mejorar la notación.

Answer 2

Para cualquier espacio vectorial$X$, escriba "$X^T$" para su doble.

A continuación, definimos$g:T^1_1(V)\to \mathrm{Hom}(V,V^{TT})$ by$((gb)v)w = b(w,v)$.

Cuando$V$ es de dimensión finita tenemos$V^{TT}\cong V$, y luego$\mathrm{Hom}(V,V^{TT})\cong\mathrm{End}(V)$ y$g$ da el inverso a$h$.