cómo estimar esta integral indefinida $\int \frac{1}{e^x +x}dx$

Question

Uno de mis alumnos me pidió que estimara esta integral indefinida \begin {reunir*} \int \frac {1}{e^x+x}dx. \end {reunir*} He intentado muchos métodos, pero no puedo encontrar la primitiva de la misma. Entonces uso Maple y Mathematica para ayudarme. Como resultado, los dos softwares no pueden darme el resultado. Por lo tanto, no estoy seguro de si la primitiva de esta integral se puede expresar como funciones elementales. Pero no he podido dar la razón. ¿Cómo puedo juzgar si la primitiva de esta integral indefinida se puede expresar como funciones elementales? ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Es muy poco probable que la función $$f(x):=\int_0^x{dt\over e^t+t}$$ puede expresarse en términos elementales. Sin embargo, demostrar esto sería bastante difícil, por las siguientes razones: En primer lugar se necesita una teoría algebraica profunda para tratar estas cuestiones, e incluso teniendo esta teoría a su disposición no es obvio cómo manejar el ejemplo particular considerado aquí. Esta es la razón por la que al 99% de los estudiantes se les dice simplemente que no se puede expresar la función realmente importante $\Phi(x):={1\over\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2} dt$ en términos elementales, y nunca ver una prueba de este hecho.

Ahora en tu pregunta hablas de "estimar" la función $x\mapsto f(x)$ . Esta es otra cuestión, y si realmente está interesado en una "estimación" debería indicar para qué rango de $x$ que se desea que dicha estimación sea útil.

Answer 2

Caso $1$ : $xe^{-x}\leq1$

Entonces $\int\dfrac{1}{e^x+x}dx$

$=\int\dfrac{e^{-x}}{1+xe^{-x}}dx$

$=\int\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^ne^{-(n+1)x}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{(-1)^{n+1}n!x^ke^{-(n+1)x}}{(n+1)^{n-k+1}k!}+C$ (puede obtenerse en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions )