Tengo problemas para evaluar esta integral

Question

$$\int\limits_6^{16}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3+7x^2+8x-16}}\right)\,\mathrm dx=\frac{\pi }{k}$$

Nota: $k$ es una constante.

Answer 1

$$x^3+7x^2+8x-16=(x-1)(x+4)^2\implies \sqrt{x^3+7x^2+8x-16}=\sqrt{x-1}(x+4)$$

Denotemos la integral indefinida como $I$ .

$$I=\int\frac{\mathrm dx}{(x+4)\sqrt{x-1}}$$

Realice la sustitución $u^2=x-1$ y $2u\,\mathrm du=\mathrm dx$ para conseguirlo,

$$I=2\int\frac{\mathrm du}{u^2+5}$$

Se trata de una integral elemental que puede evaluarse fácilmente. Pon los límites y obtén el valor de $k$

Answer 2

Sugerencia: Puesto que $x^3+7x^2+8x-16=(x-1)(x+4)^2$ le sugiero que haga la sustitución $u=\sqrt{x-1}$ . Al final, encontrarás que una función primitiva viene dada por $$ \frac{2}{\sqrt{5}}\arctan(\sqrt{x-1}/\sqrt{5}). $$ El valor de $k$ ? Bueno, ¡te dejo esa diversión a ti!