¿Lo que ' s el "límite" en la definición de integral de Riemann?

Question

Considerar uno de los métodos estándar que se utiliza para la definición de las integrales de Riemann:

Supongamos $\sigma$ denota cualquier subdivisión $a=x_0<x_1<x_2\cdots<x_{n-1}<x_n=b$, y deje $x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i$. Entonces si $$\sigma:=\max\{x_i-x_{i-1}|i=1,\cdots,n\},$$ los que vamos a llamar a la norma de la subdivisión, definimos: $$\int_a^bf(x)dx:=\lim_{|\sigma|\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).$$

Cuando uno habla sobre el límite de una función $\lim_{x\to x_0}f(x)$, uno tiene exactamente un valor de $f(x)$ por cada $x$. Sin embargo, para cada $|\sigma|$, el valor de la suma de Riemann $\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ no es necesariamente única. El uso de la $\epsilon$-$\delta$ idioma se puede reformular la definición de la siguiente manera:

Supongamos que $f:[a,b]\to{\mathbb R}$, $J\in{\mathbb R}$. Si para todas las $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para cualquier subdivisión $\sigma$ $\{\xi_i\}$ $\sigma$ (es decir,$x_{i-1}\leq \xi_i\leq x_i$), $|\sigma|<\delta$ implica $$|\sum_{i}^nf(\xi_i)\Delta x_i-J|<\epsilon,$$ llamamos a $J$ es la integral de Riemann de $f$ $[a,b]$ e indicar $$J=\int_a^bf(x)dx.$$

Aquí están mis preguntas:

• ¿Cómo debo entender este tipo de límite?
• Parece que este no es el "límite de una función" he aprendido en la escuela primaria análisis real. Dónde aparece en matemáticas, además de la definición de integral de Riemann?

Answer 1

Es el límite de una red. Las redes son una generalización de las secuencias que hacen todos los familiares de las declaraciones acerca de las secuencias de verdad para espacios que no son de primera contables (por ejemplo un punto se encuentra en el cierre de un subespacio si y sólo si hay una red convergente, y así sucesivamente), así que en cualquier momento quieres demostrar algo sobre la generalidad de los espacios y desea utilizar secuencias, pero no puede, usted puede utilizar las redes en su lugar (aunque hay algunas sutilezas aquí; uno no puede simplemente reemplazar "secuencia" con "net" en una prueba).

Answer 2

Una manera de pensar acerca de él es que tiene una función definida en el conjunto de particiones de $[a,b]$ en los números reales se llama la suma de Riemann. Usted pone una orden en particiones mediante la definición de la noción de malla ($|\sigma|$ en su notación) y la definición de un orden en el conjunto de particiones por $\sigma\succeq\tau$, si y sólo si $|\sigma| \leq |\tau|$ y decir que $\sigma$ es más fino que el de $\tau$. Así que ahora usted puede hacer una definición similar a la del límite de secuencias: $\lim_{|\sigma|\rightarrow 0} R(\sigma)=J$ si y sólo si para todos los $\epsilon>0$ existe una partición de $\Lambda$ tal que para todas las particiones $\sigma$ tal que $\sigma\succeq\Lambda$ ha $|R(\sigma)-J|<\epsilon$.

El contexto más general de esto es que estamos haciendo el conjunto de particiones en un dirigidos conjunto, y así suma de Riemann se convierte en una red desde el conjunto de particiones en $\mathbb{R}$.

Answer 3

Puede ser expresada en términos de la ordinaria de la definición de límite. Deje $A(\sigma)$ $B(\sigma)$ respecively ser el supremum y infimum de $\sum_i f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})$ sobre todas las subdivisiones de la "norma" $\sigma$ y todas las opciones de la $\xi_i$. Entonces si $\lim_{\sigma \to 0} A(\sigma) = \lim_{\sigma \to 0} B(\sigma)$, es decir, ambos límites existen y son iguales, el valor común es la integral de Riemann.

Answer 4

Qiaochu Yuan y minimalrho explica muy bien cómo utilizar las redes. Filtros (filtro o bases) también puede ser utilizado para formalizar el concepto de integral de Riemann. Redes y filtros son herramientas importantes en la topología y el análisis funcional.

Sólo la integridad de' bien, me gustaría mencionar aquí otra generalización de límite: G tiende a b como F tiende a una.

Deje $S$ ser un conjunto, $X,Y$ ser espacios topológicos, $F\colon S\to X$, $G\colon S\to Y$, $a\in X$, $b\in Y$. Decimos que $G\to b$ $F\to a$ si para cada vecindario $V$ $b$ existe un entorno $U$ $a$ tal que para cada a $s\in S$ la condición de $F(s)\in U$ implica que el $G(s)\in V$.

Este concepto de límite no es tan potente como las redes y filtros (y puede ser reducido a redes o filtros), pero está muy cerca de la definición de integral de Riemann. En la definición de integral de Riemann, $S$ es el conjunto de etiquetado particiones, $F$ es la norma de la partición y $G$ es la integral de la suma.