Sea$f:(a,b)\rightarrow \mathbb R$ una función continua que satisfaga:$$ f(x) \leq \frac{1}{2h} \int_{x-h}^{x+h} f(t) dt $ $ para todo$x,h$ tal que$a\leq x-h<x+h \leq b$.
¿Cómo mostrar que$f$ es convexo?
Respuestas
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En primer lugar, observe que si la desigualdad se cumple, tiene también un si $f$ es reemplazado por $x\mapsto f(x)+cx+d$ (la de los términos adicionales contribuyen por igual a ambos lados).
Supongamos ahora que $f$ no es convexa, por lo que podemos encontrar $a\le\alpha<\beta\le b$$t\in(0,1)$$f(t\alpha+(1-t)\beta)>tf(\alpha)+(1-t)f(\beta)$. La modificación de $f$ mediante la adición de un plazo $cx+d$, podemos suponer que $f(\alpha)=f(\beta)=0$, y ahora se $f$ es positivo en algún lugar entre esos puntos. Deje $x\in(\alpha,\beta)$ ser un punto máximo para $f$ en ese intervalo. Dada la desigualdad implica que $f(t)=f(x)$ todos los $t\in[x-h,x+h]$ siempre $[x-h,x+h]\subseteq[\alpha,\beta]$. Recogiendo $h$ tan grande como sea posible en virtud de esa condición, llegamos a la conclusión de que, o bien $f(\alpha)$ o $f(\beta)$ es igual a $f(x)$, lo cual es positivo – una contradicción.
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F (x) <= 1 / 2h * integral sobre xh a x hf (t) dt
= 2h * f (x) <= integral sobre xh a x hf (t) dt
= 2h * f (x) <= integral sobre xh a xf (t) dt integral sobre x a x hf (t) dt
= 2h * f (x) <= h * f (xh) h * f (xh)
= F (x) <= 1/2 * f (xh) 1/2 * f (x h)
= F (0,5 (x h) 0,5 (xh)) <= 0,5f (x h) 0,5f (xh). (Demostrado convexo)
