Evaluar: $\int_{W(-1/\gamma)}^{W(1/\gamma)}\frac{e^{-u} \,\text{d}u}{\sqrt{1-(\gamma u e^{u})^2}}$

Question

Evaluar la integral

$$ P(\gamma)=\int_{W(-1/\gamma)}^{W(1/\gamma)}\frac{e^{-u} \,\text{d}u}{\sqrt{1-(\gamma u e^{u})^2}} $$

donde $\gamma$ es un número real no igual a $0$ y tiene las propiedades que debe tener para que el producto se registre en los límites definidos. Nótese que los límites están exactamente donde el denominador del integrando va a cero. No hay manera de que haya una antiderivada elemental, así que probablemente haya algún tipo de integración de contorno involucrada, pero no puedo entenderlo. Puedo expresar la integral como una suma infinita de funciones especiales expandiendo la raíz cuadrada, pero me preguntaba si había una forma más compacta.

Answer 1

Dado que $\gamma\geq e$ tenemos: $$ I = \int_{-1}^{1}W(t/\gamma)W'(t/\gamma)\frac{dt}{t\sqrt{1-t^2}},$$ y desde entonces: $$ W(z)W'(z) = -\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n (n+1)^{n-1}}{(n-1)!}z^n,$$ se deduce que: $$\begin{eqnarray*} I &=& -\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n (n+1)^{n-1}}{\gamma^n (n-1)!}\int_{-1}^{1}\frac{z^{n-1}}{\sqrt{1-z^2}}\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{ (2m+2)^{2m}}{\gamma^{2m+1} (2m)!}\int_{-1}^{1}\frac{z^{2m}}{\sqrt{1-z^2}}\\&=&\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{ (2m+2)^{2m}}{\gamma^{2m+1} (2m)!}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^{2m}(\theta)\,d\theta\\&=&\pi\sum_{m=0}^{+\infty}\frac{ (m+1)^{2m}}{\gamma^{2m+1}(m!)^2},\tag{1}\end{eqnarray*}$$ que no es tan terrible de tratar, pero no creo que tenga una expresión "agradable" - me pregunto si $\frac{1}{\pi}I(\gamma)$ puede expresarse como la inversa de una función elemental, pero encontré que $$ I(\gamma)\approx \frac{\pi}{\sqrt{\gamma^2-e^2}}$$ es un muy buena aproximación (especialmente para $\gamma\geq 5$ ).