Substitución Integral:$\int_0^3\frac {\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}} dx$

Question

Pero no sé qué hacer a continuación. También cómo puedo resolver este límite:$$\int_0^3\frac {\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}} dx $ $ Vi que la mayoría de los problemas como este se resuelven poniendo el período de la función en frente, ¿funcionaría aquí?

Answer 1

Forma las propiedades de la integral definida, sabemos que: $$\int_b^af(x)\ dx=\int_b^af(a+b-x)\, dx\\ \implica \int_0^af(x)\ dx=\int_0^af(a-x)\, dx$$ La aplicación de esta propiedad a su problema:

Vamos, \begin{align*}I&=\int_0^3\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}\ dx\\ &=\int_0^3\dfrac{\sqrt{3-x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt{3-(3-x)}}\ dx\\ I&=\int_0^3\dfrac{\sqrt{3-x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt x}\ dx \end{align*}

Ahora, $$I+I=\int_0^3\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}\ dx+\int_0^3\dfrac{\sqrt{3-x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt x}\, dx\\ \implies2I=\int_0^3\dfrac{\sqrt x+\sqrt{3-x}}{\sqrt{3-x}+\sqrt x}\, dx\\ \implies2I=\int_0^3dx=x\big|_0^3=3\\ \implica I=\dfrac{3}{2}\\ \implica\boxed{\int_0^3\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}\ dx=\dfrac{3}{2}}. $$

Answer 2

Insinuación:

(1)$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{3-x}}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{3-x})}{(\sqrt{x}+\sqrt{3-x})(\sqrt{x}+\sqrt{3-x})}$

(2) Como el integrando es par y tiene un periodo de$2\pi$,$\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{dt}{2+\cos t} =\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{2+\cos t} $ para todos los enteros$k$.

Dejar $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{dt}{2+\cos t} =l$. Como el integrando es estrictamente positivo,$\displaystyle\int_{0}^{x}\frac{dt}{2+\cos t} $ está aumentando estrictamente.

Si $n\pi\le x<(n+1)\pi$,

ps

Dejando $$nl\le \int_{0}^{x}\frac{dt}{2+\cos t}<(n+1)l $,

ps

Asi que,

ps

ps

ps

Asi que, $u=\tan\frac{t} {2}$.

Answer 3

Dejar

El límite es entonces

ps

ps

Para la integral, poner$$F (x)=\int_0^x\frac{dt}{1+\cos(t)} $ $ Se convierte en

ps

Ahora con$$\lim_{x \to 0}\frac {F (x)-F (0)}{x-0}=F'(0) $ $, se convierte en$$\frac {1}{1+\cos (0)}=\frac {1}{2} $ $

La sustitución$$x=3\cos^2 (t). $ produce a$$I_1=\int_0^\frac \pi 2 \frac {6\cos^2 (t)\sin (t)dt}{\cos (t)+\sin(t)} $ $

Pero

Por lo tanto

Answer 4

Solo sugerencias para$\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x \frac{dt}{2+\cos(t)}=g(x)/x$. Dejar $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+\cos(t)}$. Tenga en cuenta que$f$ es periódico, con el período$2\pi$. Permite$x$ large y define$n$ by$2\pi n\leq x<(2n+2)\pi$. Entonces$g(x)$ es la suma de$\int_{2k\pi}^{(2k+2)\pi} f(t)dt$, para$k=0,\cdots n-1$ y de$\int_{2n\pi}^{x} f(t)dt$. El cambio de variable$t=2k\pi+u$ da ese$\int_{2k\pi}^{(2k+2)\pi} f(t)dt=\int_{0}^{2\pi} f(u)du=L$. Ahora obtiene$g(x)=nL+\int_{2n\pi}^{x} f(t)dt$ Ahora es fácil vincular$\int_{2n\pi}^{x} f(t)dt$ por$2\pi$, y mostrar que si dividimos por$x$, tiene límite$0$ y Para mostrar que$n/x$ tiene un límite, y hemos terminado.

Answer 5

La mayoría de las respuestas han manejado la primera parte del problema correctamente, por lo que sólo trato con la evaluación del límite. La función$g(t) =1/(2+\cos t) $ es periódica con el período$2\pi$ y por lo tanto su valor medio sobre$(0,\infty)$ ps

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La fórmula integral # El resultado con respecto al valor promedio de las funciones periódicas no es tan difícil de probar.