Sea$a,b,c$ constantes no nulas. ¿Cómo podemos encontrar una fórmula explícita para una secuencia que obedece a una relación de recurrencia del siguiente tipo? $$ x_n = a x_{n-1} + b (n-1) x_{n-2} +c , \text{ for } n \geq 2$$ The initial conditions $ x_0$ and $ x_1 $ se dan, y se puede suponer que no son cero.
Respuesta
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Un enfoque que ofrece fórmulas, aunque no siempre muy explícitas, y empieza por la conversión de toda la secuencia $(x_n)$ en una generación de función. La primera idea que viene a la mente para aplicar esta técnica podría ser la de considerar que la simple generación de función $$\sum_{n=0}^\infty x_nt^n$$ but, due to the $(n-1)x_{n-2}$ term in the recursion, one can predict that $x_n$ grows roughly as a factorial hence the radius of convergence of this series is $0$.
La segunda idea que viene a la mente podría ser la de considerar la exponencial de generación de función $$X(t)=\sum_{n=0}^\infty x_n\frac{t^n}{n!}$$ A continuación, la recursividad de los rendimientos $$X(t)=x_0+x_1t+\sum_{n=0}^\infty(a x_{n+1} + b (n+1) x_n +c)\frac{t^{n+2}}{(n+2)!}$$ that is, $$X(t)=x_0+x_1t+ un(X_1(t)-x_0t)+bX_2(t)+c\sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n!}$$ with $$X_1(t)=\sum_{n=0}^\infty x_n\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}\qquad X_2(t)=\sum_{n=0}^\infty x_n(n+1)\frac{t^{n+2}}{(n+2)!}$$ One sees that $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{t^n}{n!}=e^t-1-t$$ y que $$ X_2(t)=\sum_{n=0}^\infty x_n(n+2-1)\frac{t^{n+2}}{(n+2)!}=tX_1(t)-Y(t)$$ con
$$Y(t)=\sum_{n=0}^\infty x_n\frac{t^{n+2}}{(n+2)!} $$
Estas definiciones fácilmente implica que $$Y'(t)=X_1(t)\qquad X'_1(t)=X(t)$$ por lo tanto, todos estos pasos indican que uno debe tener en cuenta desde el inicio de la exponencial de la generación de la función $Y(t)$ en lugar de $X(t)$, ya que traducir todo en términos de $Y$, se obtiene
$$Y''(t)-(a+bt)Y'(t)+bY(t)=Z(t)$$ con $$Z(t)=x_0+x_1t-ax_0t+c(e^t-1-t)$$
El resto es estándar. En el caso general, las soluciones de la ecuación homogénea $$U''(t)-(a+bt)U'(t)+bU(t)=0$$ span a two dimensional vector space. Pick a basis $\{U(t),V(t)\}$ of this vector space, then every solution $S(t)$ of the complete differential equation is $$Y(t)=A(t)U(t)+B(t)V(t)$$ where $(A(t),B(t))$ solves the system $$A'(t)U(t)+B'(t)V(t)=0\qquad A'(t)U'(t)+B'(t)V'(t)=Z(t)$$ Thus, $$A'(t)=V(t)Z(t)W(t)\qquad B'(t)=-U(t)Z(t)W(t)$$ where $$W(t)=\frac1{U'(t)V(t)-V'(t)U(t)}$$ which yields $$Y(t)=U(t)\left(A_0+\int_0^tV(s)Z(s)W(s)ds\right)-V(t)\left(B_0+\int_0^tU(s)Z(s)W(s)ds\right)$$ donde las constantes $(A_0,B_0)$ están determinados por las condiciones iniciales $Y(0)=Y'(0)=0$, que leer $$U(0)A_0-V(0)B_0=0=U'(0)A_0-V'(0)B_0$$ hence, since $(U,V)$ is linearly independent, $A_0=B_0=0$, y, finalmente,
$$Y(t)=\int_0^t(U(t)V(s)-V(t)U(s))W(s)\,Z(s)\,ds$$
A partir de ahí, dependiendo de la forma exacta de la función $U$, $V$ y $W$, uno puede más o menos fácilmente deducir $Y(t)$, por lo tanto, finalmente, en cada $x_n$ en términos de $(x_0,x_1)$.
