Mínimo de la expresión dada

Question

Para todos los números reales $a$ $b$ encontrar el mínimo de la siguiente expresión.
$$(a-b)^2 + (2-a-b)^2 + (2a-3b)^2$$

Traté de expresar la totalidad de la expresión en términos de una función de $a$$b$. Por ejemplo, si la expresión se reduce a $(a-2b)^2+(a-2b)+5$, su mínimo pueden ser fácilmente encontrados. Pero nada parece conseguir esta expresión en tal forma, porque de la tercera unsymmetric plaza.

Puesto que hay dos variables aquí también podemos no utilizar la diferenciación.

Por favor puede proporcionar sugerencias sobre cómo solucionar esto?

Answer 1

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 2

Deje $a=\frac{17}{15}$$b=\frac{4}{5}$.

Por lo tanto, obtenemos un valor de $\frac{2}{15}$.

Por lo tanto, queda por demostrar que $$(a-b)^2 + (2-a-b)^2 + (2a-3b)^2\geq\frac{2}{15}$$ o $$10(3a-3b-1)^2+3(5b-4)^2\geq0$$ Hecho!

Tengo mi solución de la siguiente manera.

Necesitamos encontrar un máximo de $k$ para que la siguiente desigualdad se cumple para todos los reales $a$, $b$ y $c$. $$(a-b)^2 + (2-a-b)^2 + (2a-3b)^2\geq k$$ o $$6a^2-4(3b+1)a+11b^2-4b+4-k\geq0,$$ para lo cual se necesita $$4(3b+1)^2-6(11b^2-4b+4-k)\leq0$$ o $$15b^2-24b+10-3k\geq0,$$ para los que tenemos $$12^2-15(10-3k)\leq0$$ o $$k\leq\frac{2}{15}.$$ La igualdad se produce por $k=\frac{2}{15}$, $b=\frac{24}{2\cdot15}$, que es $b=\frac{4}{5}$ y para estos valores obtenemos $$(a-b)^2 + (2-a-b)^2 + (2a-3b)^2\geq \frac{2}{15}$$ es $$6a^2-4(3b+1)a+11b^2-4b+4-\frac{2}{15}\geq0$$ o $$90a^2-60(3b+1)a+165b^2-60b+58\geq0$$ o $$10(9a^2-6(3b+1)a+(3b+1)^2)-10(3b+1)^2+165b^2-60b+58\geq0$$ o $$10(3a-3b-1)^2+75b^2-120b+48\geq0$$ o $$10(3a-3b-1)^2+3(5a-4)^2\geq0.$$

Answer 3

ps

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Código de SymPy

 >>> from sympy import *
>>> A = Matrix([[ 1,-1],
                [ 1, 1],
                [ 2,-3]])
>>> b = Matrix([0,2,0])
>>> error = A * (A.T * A)**-1 * A.T * b - b
 

La norma euclidiana cuadrada del vector de error es

 >>> error.T * error
Matrix([[2/15]])