Anillo local con ideal maximal finito es finito

Question

Deje $(R, m)$ ser un conmutativa anillo local que no es un campo tal que $m$ es finito. Entonces, ¿es verdad que $R$ es finito ?

Puedo ver que $R$ tiene un número finito de ideales y todo correcto ideales son finitos; así, en particular, $R$ es Artinian. Por otra parte $m=R\setminus U(R)$ es finito donde $U(R)$ denota el grupo de unidades de $R$ . Para mostrar $R$ es finito sería suficiente para mostrar cualquiera de las $U(R)$ es finito o que $R/m$ es finito. Pero soy incapaz de concluir. Es la afirmación del todo cierto ?

Por favor, ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

$I$ Sea un mínimo derecho ideal; que $x\in I$, $x\ne 0$. ¿Qué es el aniquilador de $x$?

Answer 2

Que $R$ no sea un campo; entonces $\exists 0 \ne x \in R\setminus U(R)$. $Rx$ Y $ ann(x)$ son ambos ideales correcta $R$, por lo tanto ambos son finitos. Y obviamente $Rx \cong R/ann(x)$ como $R$-módulos; por lo tanto, $R/ann(x)$ también es finito. Por lo tanto es finito $R$