En la convergencia de una serie numérica

Question

Dada la serie infinita

$$\sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{\sin\left(n^a\right)}{n^b}$$

con $a,\,b \in \mathbb{R}$. Estudio cuando converge y cuando diverge.

• $\forall\,a \in \mathbb{R}$ tenemos $\left|\frac{\sin\left(n^a\right)}{n^b}\right| \le \frac{1}{n^b}$, por lo que la serie de $\color{green}{\text{converges}}$$b > 1$.

• Si $a \le 0$ tenemos $\frac{\sin\left(n^a\right)}{n^b} \le \frac{1}{n^{b-a}}$, por lo que la serie de $\color{blue}{\text{diverges}}$$b \le a + 1$$\color{green}{\text{converges}}$$b > a + 1$.

• Si $a > 0 \, \land \, b \le 0$ tenemos $\not\exists \begin{aligned}\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin\left(n^a\right)}{n^b} \end{aligned}$, por lo que la serie de $\color{blue}{\text{diverges}}$.

• Si $a > 0 \, \land \, b = 1$ la serie $\color{green}{\text{converges}}$ por la prueba de David Speyer; en particular, para $a = 2 \, \land \, b = 1$ en la página 11 de la prueba por Jacopo D''Aurizio.

• Si $a > 0\, \land \, b > \max(a,\,1-a)$ la serie $\color{green}{\text{converges}}$ por la prueba de la LRD.

• Si $0 < a < \frac{1}{2}\, \land \, a < b \le 1-a$ la serie $\color{blue}{\text{diverges}}$ por la prueba de la LRD.

• Si $a = 1\, \land \, b > 0$ la serie $\color{green}{\text{converges}}$ por Abel-Dirichlet de la prueba.

• Si $a = 2 \, \land \, 0 < b \le \frac{1}{2}$ la serie $\color{blue}{\text{diverges}}$ (Teorema 2.30 por Hardy y Littlewood).

• En todos los demás casos $\color{red}{\text{I don't know how to do}}$.

Alguna idea? Gracias!

Answer 1

Si $a > 0$, entonces la serie converge si $b > \max(a,1-a)$.

El principio general es que la serie $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ y la integral de la $\int_1^\infty f(x) \, dx$ convergen y divergen juntos si $\int_1^\infty |f'(x)| \, dx < \infty$. Esto está demostrado aquí.

En este caso, $f(x) = \sin x^a /x^b$ y

$$\int_1^\infty |f'(x)| \, dx= \int_1^\infty \left| \frac{-b\sin x^a}{x^{b+1}} + \frac{a\cos x^a}{x^{b-a+1}} \right| \, dx \\ \leqslant \int_1^\infty \frac{b}{x^{b+1}} \, dx + \int_1^\infty \frac{a}{x^{b-a+1}} \, dx, $$

así que las integrales sobre los RHS convergen y teorema es aplicable si $b > 0$$b > a$.

Tenemos

$$\int_1^\infty \frac{\sin x^a}{x^b}\, dx = \frac{1}{a}\int_1^\infty \frac{\sin u}{u^{(b+a-1)/a}}\, du, $$

que converge por la de Dirichlet de la prueba al $a > 0$ $b+a-1 > 0 \implies b > 1 - a.$

Si $b \leqslant 1 - a$, entonces la integral diverge. En este caso tenemos una integral de la forma $\int_1^\infty u^\alpha \sin u \, du$ donde $\alpha \geqslant 0$. La diferencia es obvia si $\alpha = 0$ desde $\int_1^c \sin u \, du = \cos 1 - \cos c$.

Para $\alpha > 0$ tenemos para cualquier entero positivo $k$,

$$\left|\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} u^\alpha \sin u \, du \right| = \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} u^\alpha \sin u \, du \geqslant (2 k \pi)^\alpha\int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} \sin u \, du = 2(2k\pi)^\alpha.$$

Desde el lado derecho tiende a $\infty$$k \to \infty$, el criterio de Cauchy es violada y la integral impropia debe divergir.

Por lo tanto, la serie diverge al $0 < a < b \leqslant 1 - a$.