La propiedad de Hausdorff y vallas de la diagonal en el contexto de espacios de convergencia

Question

Dado un espacio topológico $X$, los siguientes son equivalentes:

1. Dado los puntos de $x$$y$, existen barrios $A$ $B$ $x$ $y$ respectivamente satisfacer $A \cap B = \emptyset$.
2. Cada filtro adecuado converge a un máximo de un punto.
3. La diagonal set $\{(x,x) : x \in X\}$ es un subconjunto cerrado de $X \times X$.

Aprendemos como estudiantes de pregrado que un espacio topológico con cualquiera, y por lo tanto todas estas propiedades se dice es Hausdorff.

Ahora supongamos que estamos tratando de generalizar a partir de espacios topológicos a la convergencia de los espacios. La definición estándar de Hausdorff en este contexto es (2). Presumiblemente, (1) es sólo la definición incorrecta en este contexto, y probablemente no vale la pena pensar demasiado. Pero (3) todavía se ve bastante interesante; por ejemplo, es equivalente a ser capaz de pensar de la igualdad como una función de $X \times X \rightarrow \Omega$ donde $\Omega$ es el espacio de Sierpinski.

Pregunta. Hay una relación entre las condiciones (2) y (3) en el nivel de convergencia de los espacios?

Answer 1

Estas declaraciones son equivalentes todavía. Podemos aplicar la misma idea que con espacios topológicos. Convergencia de filtros (correcto) en un espacio de producto es componente-sabio. Para un filtro converge en dos puntos diferentes si y solamente si su imagen en el mapa diagonal $X \to X \times X$ converge a un punto fuera de la diagonal (es decir, no está cerrada la diagonal).

Podemos hacer lo mismo con las redes en su lugar.

Answer 2

Solo de pensar en voz alta aquí... Una posible analógica se podría probar si

$X$ es un Hausdorff convergencia espacio iff

Para cualquier filtro de $\mathcal{F}$ $X \times X$ tal que $\Delta \in \mathcal{F}$, podemos concluir, a partir de $\mathcal{F} \to (x,y)$ (en la convergencia de los productos) que $x = y$. Esta condición, de hecho, dice que la convergencia de cierre de $\Delta$ $\Delta$ en la convergencia de los productos.

No sé si esto realmente tiene (yo no lo muestran, pero no estoy muy familiarizado con la convergencia de espacios, etc. más allá de algunas definiciones.) Pero se tiene la ventaja de que se mantiene dentro de la categoría de espacios de convergencia.

Una dirección puedo mostrar: supongamos que $X$ es Hausdorff, como convergencia. A continuación, $\Delta \subset X \times X$ es la convergencia-cerrado en la convergencia de los productos en $X \times X$. Deje $\mathcal{F}$ ser un filtro en $X \times X$ que contiene $\Delta$ que $\mathcal{F} \to (x,y)$ en la convergencia de los productos. Deje que las proyecciones ser$\pi_1$$\pi_2$. Reclamo:

$$\pi_1[\mathcal{F}] = \pi_2[\mathcal{F}]$$

Si $A \subseteq X$: $A \in \pi_1[F]$ iff $A \times X \in \mathcal{F}$ $(A \times X) \cap \Delta \in \mathcal{F}$ y $(A \times X) \cap \Delta = (X \times A) \cap \Delta (=\{(x,x) \in X \times X: x \in A\})$ tenemos $(X \times A) \cap \Delta \in \mathcal{F}$, lo que implica $X\cap A \in \mathcal{F}$$A \in \pi_2[\mathcal{F}]$; el otro inclusión va de la misma manera.

Deje $\mathcal{G} = \pi_1[\mathcal{F}] = \pi_2[\mathcal{F}]$. A continuación, la definición de convergencia de los productos, dice que $\mathcal{G} \to x$ (a partir de la primera proyección) y también a $\mathcal{G} \to y$ (a partir de la segunda). Como $X$ es Hausdorff como una convergencia esto sólo puede suceder si $x=y$, de modo que $(x,y) \in \Delta$. Esto demuestra que $\Delta$ es, de hecho, la convergencia-cerrado en $X \times X$.

Pero también podemos implicar una topología:

Para una convergencia espacio que tienen asociada una topología $$\mathcal{T} = \{O \subseteq X: \forall x \in O: \text{for all filters }\mathcal{F}: \text {if }\mathcal{F} \to x \text{ then } O \in \mathcal{F}\}$$

A continuación, considere la posibilidad de $Y = (X,\mathcal{T})^2$ en el producto de la topología. A continuación, $(X,\mathcal{T})$ es Hausdorff iff $\Delta$ es cerrado en $Y$.

Tendríamos algo si $X$ es Hausdorff como un espacio de convergencia iff $(X,\mathcal{T})$ es de Hausdorff. Pero el problema es (como he leído en línea) que la convergencia inducida por $\mathcal{T}$ no tiene que ser el original de la convergencia. Es sólo claro que $\mathcal{F} \to x$ implica $\mathcal{F} \rightarrow_{\mathcal{T}} x$, básicamente por definición. La inversa no necesita tener, creo yo, y cuando la convergencia de empezar con la realidad fue inducida a partir de una topología, nos hacen llegar este topología de la espalda de esta manera. El Hausdorff equivalencia probablemente no posee realmente.

Podemos mostrar:

si $(X,\mathcal{T})$ es Hausdorff, a continuación, $X$ como un espacio de convergencia es Hausdorff.

Esto tiene básicamente la misma prueba como en la topología: Suponga $(X,\mathcal{T})$ es Hausdorff y supongamos $\mathcal{F} \to x$ y $\mathcal{F} \to y$, $x \neq y$ en la convergencia en el espacio. A continuación, $\exists U_x \in \mathcal{T}: x \in U_x $ $\exists U_y \in \mathcal{T}: y \in U_y$ tal que $U_x \cap U_y = \emptyset$. Pero la definición de $\mathcal{T}$ dice $U_x, U_y \in \mathcal{F}$ y tenemos una contradicción como su intersección es vacía, lo que no puede suceder en un filtro.

La otra dirección es probablemente falso.