Sí, los hay. Incluso podemos exigir que el prescrito $x$ aparece al principio de un número Fibonacci.
Para un gran $n$ el número Fibonacci $F_n$ de las acciones de su todo, pero posiblemente el dígito menos significativo con
$$F_n\approx\frac1{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n$$
por la fórmula de Binet.
Debido a $\theta=\log_{10}((1+\sqrt5)/2)$ es irracional la reclamación de la siguiente manera a partir de Kronecker densidad del teorema. El argumento es el mismo que
aquí, donde la pregunta es acerca de la cadena de la mayoría de los dígitos significativos en la expansión decimal de $2^n$.
En aras de la exhaustividad aquí está la prueba de la irracionalidad de
$\theta$. Supongamos por el contrario que existe un número racional $m/n$ tal que
$$
10^{m/n}=\frac{1+\sqrt5}2.
$$
La recaudación de este para poder $n$ sería entonces, implica que
$$
10^m=\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^n.
$$
Pero aquí el lado izquierdo es un número entero, mientras que el lado derecho difiere de un entero por la pequeña cantidad $\left(\frac{1-\sqrt5}2\right)^n$.
Una manera de encontrar explícita (pero no necesariamente en cualquier lugar cerca de los más pequeños) los valores de $n$, entonces, es encontrar buenas aproximaciones racionales de $\theta$.
Aquí $\theta=0.2089876\ldots$. Una buena aproximación racional es entonces
$$
\frac{14}{67}=0.20895522\ldots
$$
Esto implica que
$$
\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^{67}\approx 1.005013\cdot10^{14}
$$
está muy cerca de una potencia de diez. Por la fórmula de Binet esto significa que $F_{n+67}$ comienza con una secuencia de dígitos cerca de la de $F_n$, sólo un poco "más grande".
Por ejemplo, si desea un número Fibonacci principio $32\cdots$, usted puede hacer los cálculos
$$
\begin{aligned}
x&=\log_{10}(32\cdot\sqrt5)\approx1.8546\ldots,\\
y&=67\theta-\lfloor 67\theta\rfloor\approx0.0021718967\ldots,\\
m&=(x-\lfloor x\rfloor)/y\approx 393.47\ldots
\end{aligned}
$$
Entonces (gracias a Mathematica) se puede calcular
$$
\begin{aligned}
F_{393\cdot67}=3192055\ldots,\\
F_{394\cdot 67}=3200805\ldots,\\
F_{395\cdot67}=3224142\ldots.
\end{aligned}
$$
Se puede ver cómo el incremento de $n$ $67$ aumenta el valor del entero formado por siete dígitos significativos por sobre $0.5$%.
Cuando ese medio por ciento de la resolución no es lo suficientemente bueno para darle la cadena que desea (que pasa inevitablemente por cadenas más largas), usted necesita para buscar mejores aproximaciones racionales para $\theta$. La herramienta para la que es dada por la teoría de fracciones continuas (y mejores aproximaciones racionales).
