¿Vectores propios de una matriz cambia durante las operaciones de la matriz?

Question

Si tengo un % de la matriz $A$con dos vectores propios $x$ y $y$. Cuáles serán los vectores propios de

$$A^2 - 3A + 4I ?$$

Sé que si tenemos poderes de $A$ entonces los vectores propios permanecen sin cambios. Pero no estoy seguro sobre la matriz anterior.

Answer 1

Si tenemos $Ax=\lambda x$, esto implica $$(A^2-3A+4I)x=A^2x-3Ax+4x=\lambda^2x-3\lambda x+4x=(\lambda^2-3\lambda+4)x$$ hence $x$ is an eigenvector of $A^2-3A+4I$ to the eigenvalue $\lambda^2-3\lambda+4$

Answer 2

Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ % vector propio $v$,

$Av = \lambda v, \tag{1}$

y $p(A)$ es un polinomio en $A$,

$p(A) = \sum_0^n p_i A^i, \tag{2}$

entonces $p(\lambda)$ es un valor propio de $p(A)$, también con vector propio $v$, desde

$p(A)v = (\sum_0^n p_i A^i)v = \sum_0^n p_i A^iv = \sum_0^n p_i \lambda^i v = (\sum_0^n p_i \lambda^i)v = p(\lambda)v; \tag{3}$

por lo tanto si

$p(A) = A^2 -3A + 4I, \tag{4}$

entonces

$p(A)v = (\lambda^2 - 3\lambda + 4)v. \tag{5}$

Si $x$ y $y$ son dos vectores propios de $A$, lo anterior indica que será también vectores propios de $p(A)$.

Answer 3

Evaluación de polinomios de una matriz es compatible con el cambio de base, en otras palabras, tomar un polinomio de $A$ y, a continuación, hacer un cambio de base tiene el mismo efecto que hacer el cambio de base directamente en$~A$ y, a continuación, la evaluación de la misma polinomio de la matriz resultante. Usted puede comprobar esto por explícita de cálculo, usando la fórmula de cambio de base (basic caso es cuando el polinomio es simplemente tomar algunos de los $k$-ésima potencia), pero es más perspicaz que decir que la evaluación de un polinomio de un operador lineal definido por $A$ en relación a una determinada base) está bien definido, independientemente de las coordenadas que se utiliza para describir un operador, y el cambio de las bases de un cambio entre dos puntos de vista de una misma situación.

Entonces si $A$ es diagonalisable, usted puede hacer un cambio de base a una situación en la que la matriz es en realidad diagonal, y su pregunta se convierte en si un polinomio de una matriz diagonal es todavía una matriz diagonal, y lo que puede decirse de su diagonal entradas. Desde el conjunto de la diagonal de las matrices es cerrado bajo la suma, la multiplicación, y la multiplicación escalar, la primera pregunta tiene una respuesta afirmativa, y es claro que la evaluación de un polinomio $P$ reemplaza cada diagonal de la entrada $a$ por la evaluación de la $P[a]$.