Preguntas sobre Spivak ' s prueba que $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ es irracional

Question

Soy consciente de que ya hay dos preguntas sobre esta específica de la prueba (es decir, este y este), pero estoy específicamente perplejo por Spivak del enfoque en su Libro de respuestas.

La idea básica es bastante clara: uno tiene que encontrar una expresión polinómica de la forma $x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ ($a_0, \dots, a_5$ enteros) con $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ como una raíz, entonces, por el lema de Gauss,, ya $\sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$ no es un número entero, no es racional. La pregunta entonces se reduce a encontrar el adecuado $a_0, \dots, a_5$. Y aquí es donde me confundí.

Spivak la idea es la siguiente: vamos a $x = \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}$$n = 2^{\frac{1}{6}}$. Entonces podemos escribir la primera poderes de $x$ en términos de $n$ como sigue:

$x^0 = n^0$

$x^1 = n^2 + n^3$

$x^2 = 2n^0 + n^4 + 2n^5$

$x^3 = 2n^0 + 6n + 6n^2 + 2n^3$

$x^4 = 4n^0 + 2n^2 + 8n^3 + 12n^4 + 8n^5$

$x^5 = 40n^0 + 40n + 20n^2 + 4n^3 + 2n^4 + 10n^5$

$x^6 = 12n^0 + 24n + 60n^2 + 80n^3 + 60n^4 + 24n^5$

Esto nos da la siguiente tabla:

$\begin{array}{l | c | r} & n^0 & n^1 & n^2 & n^3 & n^4 & n^5 \\ x^0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ x^1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ x^2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ x^3 & 2 & 6 & 6 & 2 & 0 & 0 \\ x^4 & 4 & 0 & 2 & 8 & 12 & 8 \\ x^5 & 40 & 40 & 20 & 4 & 2 & 10 \\ x^6 & 12 & 24 & 60 & 80 & 60 & 24 \end{array}$

(Tenga en cuenta que hay una falta de $4$ en la segunda columna de Spivak de la propia tabla en la página. 14, con el correspondiente término que falta en la primera ecuación a continuación)

Esta es la parte realmente no entiendo. Spivak, a continuación, afirma que el entero de los coeficientes de $a_0, \dots, a_5$ son enteros satisfacer el sistema de ecuaciones lineales generado por las columnas de la tabla anterior, es decir, la satisfacción de:

$a_0 + 2a_2 + 2a_3 + 4a_4 + 40a_5 + 12 =0$

$6a_3 + 40a_5 + 24=0$

$a_1 + 6a_3 + 2a_4 + 20a_5 + 60 = 0$

$a_1 + 2a_3 + 8a_4 + 4a_5 + 80 = 0$

$a_2 + 12a_4 +2a_5 + 60 =0$

$2a_2 + 8a_4 + 10a_5 + 24 = 0$

He comprobado y, de hecho, la solución a este sistema de ecuaciones, de hecho, nos da la respuesta correcta. Pero no entiendo por qué. Que es, no entiendo (a) ¿cuál es la heurística detrás de la solución, es decir, cómo se le ocurrió esta idea y, lo que es más importante, (b) ¿por qué tomar las columnas en la tabla de arriba como de coeficientes de un sistema lineal de ecuaciones nos da la solución correcta.

Si alguien pudiera explicar esto a mí, yo estaría inmensamente agradecida!

Answer 1

Digamos que $$x^i = \sum_{j = 0}^5 c_{i,j} n^j. \tag{1}$$

Deje $C$ ser la matriz $(c_{i,j})$ y deje $X = (x^0,\dots,x^6)^T$$N = (n^0, \dots, n^5)^T$. La ecuación de $(1)$ dice que

$$ X = CN. $$

Ahora vamos a $A = (a_0, \dots, a_6)$. A continuación,$AX = a_0x^0 + \dots + a_6x^6.$, por Lo que queremos

$$ AX = ACN = 0. $$

Desde $n^0,\dots,n^5$ son linealmente independientes, esto significa que $AC = 0$. Si expande este producto consigue

$$ AC = (b_0, \dots, b_5) = (0,\dots,0) $$

donde

$$ b_k = \sum_{j = 0}^6 a_j c_{i,k} = 0. $$

---

Algunos pensamientos adicionales:

• Spivak conjuntos de $a_6 = 1$ cuando la resolución de $\sum_{j = 0}^6 a_j c_{i,k} = 0$. Esto evita que la solución de $A = (0,\dots,0)$.

• Como Bill Dubuque señaló en los comentarios: esto funciona debido a que $\mathbf{Q}[2^{1/6}]$ es un 6-dimensional espacio vectorial y $x^0,\dots,x^6$ es de siete vectores (necesariamente linealmente dependientes). Si utiliza menos poderes de $x$ usted todavía obtener la ecuación de $AC = 0$, pero sólo $A = (0,\dots,0)$ será una solución.