Funciones que siempre son menos que sus derivados

Question

Me preguntaba si hay funciones para las que $$f'(x) > f(x)$$ for all $x$. Only examples I could think of were $e^x - c$ and simply $ c$ in which $c > 0$. También, hay algún significado en una función que siempre es menor que el de sus derivados?

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Edit: muchas Gracias por todas las respuestas. Parece que casi todas las funciones que se aplican son exponenciales por la naturaleza... Hay más ejemplos como el de - 1/x?

De nuevo hay aplicaciones/manifestaciones físicas de estas funciones? [por ejemplo, un objeto con una velocidad que es siempre mayor que su posición y la aceleración es siempre mayor que su velocidad]

Answer 1

Si $y'(x)>y(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}$, podemos definir a la $f(x)=y'(x)-y(x)$ cual es positivo forall $x$. Supongamos que $y'(x)$ es función continua de modo que $f(x)$ es continua. Ahora con este elemento podemos construir la ecuación diferencial $$y'(x)=y(x)+f(x)$$ and its solutions are given by: $$y(x)=e^{x}\left(c+\int_{x_0}^{x}e^{-s}f(s)ds\right)$$

De nuevo hay aplicaciones/manifestaciones físicas de estos funciones? [por ejemplo, un objeto con una velocidad que es siempre mayor que su posición y la aceleración es siempre mayor que la de sus velocidad]

No sé si hay aplicación de esta interesante propiedad, pero estoy seguro de que usted no se puede comparar la velocidad con la posición, debido a que no son homogéneos cantidades.

Answer 2

Suponiendo que $f(x)>0$, $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$

$f'(x) > f(x) \iff \frac{d}{dx}\ln(f(x))>1$

Por lo que se puede activar cualquier función $g$ donde $g'(x)>1$ en este tipo de función tomando exponencial de él:

$\frac{d}{dx}g(x)>1 \implies \frac{d}{dx}\ln(e^{g(x)})>1 \implies \frac{d}{dx} e^{g(x)}>e^{g(x)}$

Answer 3

Un ejemplo simple es $f(x)=-x^2-3$

Answer 4

Un problema más interesante es encontrar una función $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, cuya imagen es $\mathbb{R}$ y satisface $f'(x)>f(x)$ % todos $x\in\mathbb{R}$. Una de esas funciones es

$$\sinh(x),$$

porque

$$\frac{d}{dx}\sinh(x)=\cosh(x)>\sinh(x)$ $ % los $x\in \mathbb{R}$.

Answer 5

Tomar el $f(x)=e^{\alpha x}$. Luego disponemos de $\alpha >1$ $f'(x)>f(x)$ y $\alpha <1$ tenemos $f'(x)<f(x)$.