¿Por qué una bola de bolos rueda más rápido hacia abajo en una pendiente que una pelota de tenis y, sin embargo, ambas llegan al suelo al mismo tiempo si se dejan caer desde la azotea?

Question

Si una pelota de tenis y una bola de bolos se dejan caer desde un tejado, llegan al suelo al mismo tiempo. Pero si se hacen rodar por una pendiente, la bola de bolos rueda más rápido. ¿Por qué?

Answer 1

La explicación fácil es que la pelota de tenis es hueca.

Cuando simplemente se dejan caer los objetos, éstos están sometidos a la misma aceleración -la debida a la gravedad- y nada más. La conservación de la energía dice entonces que su energía potencial gravitatoria debe transformarse completamente en energía cinética en el suelo:

$$mg\Delta h=\frac{1}{2}mv^2\to v=\sqrt{2g\Delta h}$$

Dado que las alturas iniciales $\Delta h$ son iguales, ambos tienen la misma velocidad entre sí (aunque no es constante en el tiempo) sin importar la distancia a la que caen y, por tanto, chocan al mismo tiempo.

Sin embargo, al hacerlos rodar por el techo, la energía potencial gravitacional inicial, $mg\Delta h$ se transforma no sólo en energía cinética, sino también en energía de rotación. La energía de rotación de algo es $\frac{1}{2}I\omega^2$ , donde $I$ es el momento de inercia (el equivalente rotacional de la masa) y $\omega$ es la velocidad angular ( $\omega=v/r$ (la velocidad del objeto dividida por su radio).

Todo esto está muy bien, así que la diferencia entre la bola de bolos y la de tenis es ahora porque la bola de bolos es sólida y la de tenis es hueca. Cuando se deja caer, no hay ninguna diferencia. Sin embargo, al rodar, las diferentes distribuciones de masa afectan a los momentos de inercia de forma diferente. Una esfera sólida tiene $I=\frac{2}{5}mr^2$ mientras que una esfera hueca (sé que la pelota de tenis no es perfectamente hueca, pero hagamos esta aproximación, ¿vale?) tiene $I=\frac{2}{3}mr^2$ . ¿Qué significa esto? Bueno, hagamos las cuentas (¡las matemáticas son divertidas!).

Para la bola de bolos, tenemos: $$mgh=\frac{1}{2}\left(I\omega^2+mv^2\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{5}mr^2\cdot\frac{v^2}{r^2}+mv^2\right)\to v=\sqrt{\frac{10}{7}gh}$$

Mientras que, para la pelota de tenis, tenemos: $$mgh=\frac{1}{2}\left(I\omega^2+mv^2\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}mr^2\cdot\frac{v^2}{r^2}+mv^2\right)\to v=\sqrt{\frac{6}{5}gh}$$

Obsérvese que la masa de cualquiera de las dos bolas es mayormente irrelevante y que, como $\sqrt{\frac{10}{7}}>\sqrt{\frac{6}{5}}$ la velocidad de avance, $v$ de la bola de bolos es mayor que la de la pelota de tenis; sólo porque una es hueca y la otra es sólida.

También vale la pena señalar que el radio, como puede haber concluido, no afecta idealmente a la velocidad de avance. Esto es algo que se demuestra fácilmente a través de las ecuaciones anteriores, así como experimentalmente. Coge algunas esferas sólidas de diferentes radios y hazlas rodar por una pendiente (trabajo en un laboratorio de enseñanza de física, así que créeme cuando digo que he hecho esto muchas veces), deberías ver que llegan al fondo al mismo tiempo. Sí. ¡La física es genial!

Answer 2

No he probado este experimento, pero los dos primeros factores que se me ocurren son:

1. Fricción por rodadura La bola de bolos es dura y lisa, mientras que la bola de tenis es difusa y más blanda. Esto llevaría a un mayor coeficiente de fricción de rodadura para la pelota de tenis.
2. Distribución de la masa La pelota de tenis es hueca, mientras que la de bolos es sólida. Esto significa que, gramo a gramo, la pelota de tenis tendrá un mayor momento de inercia, lo que significa que se necesita un mayor par motor para hacerla girar. Consulta la respuesta de Jim para obtener más detalles. Se trata de una variación de la clásica demostración en clase de un disco sólido y un anillo de igual masa y radio rodando por una rampa: el disco gana.

Answer 3

Ignorando la resistencia del aire y otros efectos de fricción distintos de los que hacen rodar los objetos, la diferencia se debe a la distribución de la masa alrededor del eje de rotación y no a la masa real de los dos objetos.

El momento de inercia de un cuerpo es una medida de la resistencia que presenta el cuerpo a sufrir una aceleración angular y la momento de inercia de una esfera sólida (bola de bolos) es proporcionalmente menor que la de una esfera hueca (pelota de tenis) por un factor de aproximadamente $\frac 3 5$ .
Esto significa que la aceleración angular y, por tanto, también la traslacional de la bola de bolos es mayor que la de la bola de tenis.

Dicho de otro modo, a medida que la bola de bolos rueda por una pendiente, una mayor parte del potencial gravitatorio que pierde se convierte en energía cinética de traslación y una menor parte en energía cinética de rotación, en comparación con las transferencias de energía a una pelota de tenis.

La derivación para la aceleración de una esfera sólida rodando por una pendiente se muestra como independiente de la masa aquí y se puede adaptar la derivación para mostrar que la aceleración de la bola de bolos es mayor que la de una bola de tenis.

Cuando los objetos vuelven a caer, sus aceleraciones son independientes de la masa y, dado que toda la pérdida de energía potencial gravitatoria se convierte en energía cinética de traslación, los cuerpos aceleran al mismo ritmo y llegan al suelo al mismo tiempo.