Por qué existe este límite $x^{x}$

Question

Me preguntaba cuál es el valor de $\lim\limits_{x\to 0+} x^{x}$.

Suponiendo que el límite existe, pude Mostrar usando las técnicas de logaritmo generalmente que el límite es de $1$. Sin embargo, no soy capaz de demostrar que el límite existe. ¿Podría una ayuda en eso?

Edición: Sería tan agradable si podríamos hacerlo sin l'Hopital...

Answer 1

Sugerencia: Utilizando el cambio de la variable $x=e^{-t}$ muestran que %#% $ #%

$$\lim_{x \to 0+} x \ln x = 0.$$

Para probar la última igualdad se puede utilizar la expansión de Taylor $$\lim_{x \to 0+} x \ln x = \lim_{t \to +\infty} -\frac{t}{e^t} = 0.$, por ejemplo.

Answer 2

Asumir que sabe $$\lim_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{n}=1$ $ prueba:

$$1 \leq \sqrt[n]{n}<\frac{n-2+2\sqrt n}{n}, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{GM \leq AM}$$

Ahora cada $x$ cerca de cero definir $n(x)=[\frac{1}{x}]$ $[\cdot]$ dónde está la función de parte. Llamemos a $n(x)$ de simplicidad $n$.

Por lo tanto\begin{align} &\frac{1}{n} \geq x \geq \frac{1}{n+1} \frac{}{} \Rightarrow\\ \left (\frac{1}{n} \right )^\frac{1}{2n}\geq &\left (\frac{1}{n} \right )^{\frac{1}{n+1}} \geq x ^{x}\geq \left (\frac{1}{n+1} \right )^\frac{1}{n} \geq \left (\frac{1}{2n} \right )^\frac{1}{n}& \end {Alinee el}

Y porque como $x$ tiende a cero $n(x)$ tiende a infinito tomando límites en ambos lados que se hacen.