¿Existe un % sumersión $f:\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}$con uno compacto de imagen previa y otra la imagen no-compacto?

Question

Existe un % de sumersión $f:\mathbb{R}^{3}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}$para que hay $c_1$ $c_2$ $\mathbb{R}$ tal que $f^{-1}(c_1)$ es compacta y $f^{-1}(c_2)$ es no compacto.

Answer 1

Este es un ejemplo más simple de lo que tenía.

Que $U=\{(x,y)\in\mathbb R^2:0<x^2+y^2<1, x<\tfrac12\}$ y $r:U\to\mathbb R$ sea la función dando la distancia al origen. Elige cualquier diffeo $\phi:\mathbb R^2\setminus\{0\}\to U$ y considerar la función $r\circ\phi:\mathbb R^2\setminus\{0\}\to(0,1)$ que es una inmersión con fibras compactas y no compactas. Girando este, tenemos un ejemplo de $\mathbb R^3\setminus\{0\}$.

Answer 2

Por qué no intentar algo más sencillo, como el $f=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{1+z^{2}}$. Entonces es fácil ver que $\operatorname{grad}f$ es un vector distinto de cero en cada punto de $\mathbb{R}^{3}\backslash\{0\}$, $f$ es una sumersión; Por otro lado

el conjunto de nivel $f^{-1}(1):~x^{2}+y^{2}=1$ es un cilindro, por lo tanto, mientras que

el conjunto de nivel $f^{-1}(\frac{1}{2}):~x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2}z^{2}=\frac{1}{2}$ es un elipsoide, por lo tanto compacto.