$\log$ es continua

Question

Intento demostrar que la función logaritmo complejo es continua utilizando este teorema pero me encuentro con un obstáculo en parte de la prueba.

Dejemos que $D=\Bbb C\setminus(-\infty,0]$ . La afirmación es que la función $\log\upharpoonright D:D\to\Bbb C$ es continua en $D$ . Lo que sabemos hasta ahora es que $\log$ se define como la inversa de $\exp\upharpoonright (\Bbb R\times(-\pi,\pi])$ (donde la notación se refiere al conjunto de todos los números complejos con parte real en $\Bbb R$ y la parte imaginaria en $(-\pi,\pi]$ ), y está bien definida porque hemos demostrado que $\exp$ en este dominio es una biyección sobre $\Bbb C\setminus\{0\}$ . También sabemos que $\exp$ es continua.

Dado $x\in D$ queremos demostrar que $\log$ es continua en $x$ . Para aplicar el teorema vinculado, necesitamos una región compacta, así que dejemos $y=\log x$ y definir $Y=[\Re y-1,\Re y+1]\times[\frac{\Im y-\pi}2,\pi]$ . Entonces $Y$ es compacto, por lo que $\exp(Y)$ también es compacto, y como $y\in \Bbb R\times(-\pi,\pi]$ se deduce de la definición de $\log$ y $\Im y\ne\pi$ porque esto implicaría $x\in(-\infty,0]$ También tenemos $$y\in Y^\circ=(\Re y-1,\Re y+1)\times(\frac{\Im y-\pi}2,\pi).$$

Ahora podemos aplicar el teorema para deducir que $\exp\upharpoonright Y:Y\to\exp(Y)$ es un homeomorfismo, por lo que $\log$ es continua en $\exp(Y)^\circ$ . Donde me he atascado es en la última parte, para demostrar que $x\in\exp(Y)^\circ$ dado que ya sabemos $x\in\exp(Y^\circ)$ porque las topologías de los subespacios involucrados no juegan bien con el interior aquí. En concreto, sabemos que $\exp(Y^\circ)$ está abierto en $\exp(Y)$ pero no veo cómo esto implica que está abierto en $\Bbb C$ (o $D$ ).

Me doy cuenta de que probablemente pueda entender esta prueba con suficientes detalles de la forma de la región transformada $\exp(Y)$ Pero también quiero que esta prueba sea lo más "elegante" posible, así que prefiero evitar cálculos más complicados de lo necesario. En particular, si es posible, no quiero utilizar otras propiedades de la función exponencial que las mencionadas aquí.

Si hay otra forma totalmente diferente de probar esto de forma agradable, soy todo oídos.

Answer 1

Por definición, y al elegir un corte de rama ( digamos, $\;\{z\in\Bbb C\;:\;\;\text{Re}\,z\le 0\}$ ) , tenemos que

$$z=x+iy\;,\;\;x,y\in\Bbb R\;\implies\;\text{Log}\,z:=\log|z|+i\arg z=\frac12\log(x^2+y^2)+i\arctan\frac yx$$

Poniendo $\;u(x,y)=\frac12\log(x^2+y^2)\;,\;\;v(x,y):=\arctan\frac yx\;$ obtenemos:

$$\begin{align}&u_x'=\frac x{x^2+y^2}\;,\;\;v_y'=\frac1x\frac1{1+\frac{y^2}{x^2}}=\frac x{x^2+y^2}\\{}\\ &u_y'=\frac y{x^2+y^2}\;,\;\;v_x'=-\frac y{x^2}\frac1{\frac{y^2}{x^2}}=-\frac y{x^2+y^2}\end{align}$$

Podemos ver que nuestra función cumple con el Ecuaciones de Cauchy- Riemann . Esto, junto con el hecho de que cada derivada parcial es una función continua en el dominio elegido, hace que Log $\,z\;$ una función analítica allí y, por tanto, continua.

Esto sí no utilizar lo que mencionas al principio de tu pregunta, pero es algo bastante diferente como preguntas al final de la misma.