Soluciones racionales a la ecuación trigonométrica

Question

Considere la ecuación $$ \cos(\pi a) + \cos(\pi b) = \cos(\pi c) + \cos(\pi d), $$ con $$ a,b,c,d \in \mathbb{Q} \cap \left[0,\frac{1}{2}\right]. $$ Es evidente que esta ecuación admite algunas soluciones triviales, a saber $(a,b) = (c,d)$ o $(a,b) = (d,c)$ . ¿Existe alguna solución racional aparte de las triviales?

Answer 1

Para soluciones no triviales, $a,b,c,d$ son distintos. WLOG deja $a = \max(a,b,c,d)$ .

Tomar un denominador común $N$ y escribir $a=A/N$ , ..., $d = D/N$ , podemos escribirlo como $$ \omega^A + \omega^{-A} + \omega^B + \omega^{-B} - \omega^C - \omega^{-C} - \omega^D - \omega^{-D} = 0$$ o de forma equivalente $$ P(\omega) = \omega^{2A} + 1 + \omega^{B+A} + \omega^{-B+A} - \omega^{C+A} - \omega^{-C+A} - \omega^{D+A} - \omega^{-D+A} = 0 $$ donde $\omega = \exp(\pi i/N)$ . Ahora el polinomio mínimo de $\omega$ sobre los racionales es el polinomio ciclotómico $C_{2N}(z)$ Así que $P(z)$ debe ser divisible por $C_{2N}(z)$ . Busqué sobre $A \le 20$ , en cada caso factorizando $P(z)$ y buscando factores ciclotómicos $C_M(z)$ con $M \ge 4A$ obteniendo los siguientes resultados.

$$ \eqalign{ \cos(\pi/3) + \cos(\pi/15) &= \cos(4 \pi/15) + \cos(\pi/5)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/12) &= \cos(5 \pi/12) + \cos(\pi/4)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/18) &= \cos(7 \pi/18) + \cos(5 \pi/18)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/9) &= \cos(4 \pi/9) + \cos(2 \pi/9)\cr \cos(3 \pi/7) + \cos(\pi/7) &= \cos(\pi/3) + \cos(2 \pi/7)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/24) &= \cos(3 \pi/8) + \cos(7 \pi/24)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/8) &= \cos(11 \pi/24) + \cos(5 \pi/24)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/30) &= \cos(11 \pi/30) + \cos(3 \pi/10)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/15) &= \cos(2 \pi/5) + \cos(4 \pi/15)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/10) &= \cos(13 \pi/30) + \cos(7 \pi/30)\cr \cos(\pi/2) + \cos(2 \pi/15) &= \cos(7 \pi/15) + \cos(\pi/5)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/5) &= \cos(2 \pi/5) + \cos(\pi/3)\cr \cos(\pi/2) + \cos(\pi/36) &= \cos(13 \pi/36) + \cos(11 \pi/36)\cr \cos(\pi/2) + \cos(5 \pi/36) &= \cos(17 \pi/36) + \cos(7 \pi/36)\cr } $$

Los que implican $\cos(\pi/2)$ podrían considerarse algo triviales: son casos de $$\cos(t) = \cos\left(\frac{\pi}{3} + t\right) + \cos(\left(\frac{\pi}{3}-t\right)$$

Así que los ejemplos "realmente no triviales" son $$\eqalign{\cos(\pi/3) + \cos(\pi/15) &= \cos(4 \pi/15) + \cos(\pi/5)\cr \cos(3 \pi/7) + \cos(\pi/7) &= \cos(\pi/3) + \cos(2 \pi/7)\cr }$$

¿Hay más?

Answer 2

Sí:

Set $\ a=\frac{1}{3}$ , $b=\frac{2}{5}$ , $c=\frac{1}{5}$ , $d=\frac{1}{2}$