Calcular el límite de $\sqrt{1-a}\sum\limits_{n=0}^{+\infty} a^{n^2}$ cuando $a\to1^-$

Question

Necesito algunas sugerencias, consejos para el límite cuando $a \to 1^{-}$ $$\sqrt{\,1 - a\,}\,\sum_{n = 0}^{\infty}a^{n^{2}}.$ $

Answer 1

Tenga en cuenta que$\frac1{\sqrt{1-a}}=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}c_ka^k$$c_k=\frac1{4^k}{2k\choose k}\sim\frac1{\sqrt{\pi k}}$. Desde $k\mapsto a^k$ está disminuyendo, $$ b_{i,j}\cdot a^j\leqslant\sum_{k=i}^jc_ka^k\leqslant b_{i,j}\cdot a^i,\qquad b_{i,j}=c_i+\cdots+c_j. $$ El uso de este para$i=n^2+1$$j=(n+1)^2$$n\to\infty$, se pone en $b_{i,j}\sim\frac2{\sqrt\pi}$. Estas estimaciones pueden ser rigurosa para mostrar que $$ \frac1{\sqrt{1}}\sim\frac2{\sqrt\pi}\cdot\sum\limits_{n=0}^{+\infty}^{n^2}, $$ por lo tanto $$ \lim\limits_{un\1,\lt1}\sqrt{1-a}\cdot\sum\limits_{n=0}^{+\infty}^{n^2}=\frac{\sqrt\pi}2. $$ El mismo método se muestra de manera más general que, para cada $c\geqslant1$, $$ \lim\limits_{a\to1,a\lt1}(1-a)^{1/c}\cdot\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a^{n^c}=\Gamma\left(1+\frac1c\right). $$

Answer 2

Este problema se le preguntó en 1932 Tripos matemático y aquí está una respuesta basada en una sugerencia dada en matemática pura de Hardy.

Que $h$ ser positivo y $n$ ser un entero positivo. $e^{-x^{2}}$ Es disminuirlo es fácil ver que $$\int_{h}^{(n + 1)h}e^{-x^{2}}\,dx < h \sum_{k = 1}^{n}e^{-k^{2}h^{2}} < \int_{0}^{nh}e^{-x^{2}}\,dx$$ If we let $n # \to \infty$ we get $$\int_{h}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx \leq h\sum_{k = 1}^{\infty}e^{-k^{2}h^{2}} \leq \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$$ Now we put $t = e ^ {-h ^ {2}} $ so that as $h \to 0 ^ {+} $ we have $t \to 1^{-}$ and also note that $h/\sqrt{1 - t} \to 1 $ as $h \to 0 ^ {+} $ and thus on taking limits as $h \to 0 ^ {+} $ or as $t \to 1^{-}$ we get $$\lim_{t \to 1^{-}}\sqrt{1 - t}\sum_{k = 1}^{\infty}t^{k^{2}} = \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$$ Note that the question given by OP requires the lowest index in $\sum t ^ {k ^ {2}} $ to be $k = 0 $ but above we have it as $k = 1 $. This does not make any difference as the term corresponding to $k = 0$ is $1$ and hence a term $\sqrt{1 - t} $ gets added up which also tends to $0$. Hence we have $% $ $\lim_{t \to 1^{-}}\sqrt{1 - t}\sum_{k = 0}^{\infty}t^{k^{2}} = \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\,dx$