En el título se escribe "delimitada funciones continuas", pero en la pregunta misma de escribir "limitado, uniforme de funciones continuas". Ya no sé cual de estos que realmente significa, voy a dar respuestas a ambas versiones.
Nos deja denotar su secuencia exacta por $0 \to J \to A \to A/J \to 0$ como se suele hacer.
En primer lugar, vamos a considerar su uniformemente continua de la versión. Como usted probablemente ha correctamente notado, tenemos $K_0(J) = 0$$K_1(A/J) = 0$. Pero faltó un punto crucial para los otros dos grupos $K_1(J)$$K_0(A/J)$. Ambos son isomorfo al grupo de todos los delimitada, de valor entero secuencias de $\ell^\infty_\mathbb{Z}$. Pero usted escribió $\prod \mathbb{Z}$ que no abarcan el acotamiento. Ahora usted conjetura de que el límite de homomorphism $\ell^\infty_\mathbb{Z} \to \ell^\infty_\mathbb{Z}$ de los que 6-término de la secuencia es surjective con kernel $\mathbb{Z}$, lo que nos daría $K_0(A) \cong \mathbb{Z}$$K_1(A) \cong 0$. A pesar de que estás en lo correcto con el kernel de la frontera homomorphism ser $\mathbb{Z}$ y, por tanto,$K_0(A) \cong \mathbb{Z}$, está completamente equivocado con el surjectivity. De hecho, el grupo $K_1(A)$ es altamente no trivial.
Como un comentario: ¿qué es en realidad la K-teoría de la $C^\ast$-álgebra de todos los acotado, uniforme de funciones continuas? Permítanme responder a esta pregunta si el espacio es una de Riemann colector $M$ delimitada de la geometría (es decir, que su radio de inyectividad es uniformemente positivo y el tensor de curvatura y todos sus covariante derivados están delimitadas en la norma). A continuación, podemos identificar a $K_0(C_u(M))$ con las siguientes: cada elemento de es de la forma $[E] - [F]$ donde $E, F \to M$ son vectoriales complejos paquetes de limitada geometría más de $M$ (lo que significa que están equipadas con un hermitian métrica y compatible con la conexión de tal manera que su tensor de curvatura y todos sus covariante derivados están delimitadas en la norma), y $[\cdot]$ denota $C_b^\infty$-clases de isomorfismo, es decir, el uso de isomorphisms $\varphi\colon E \to E^\prime$ que son acotados, sus inversas son acotados, y tal que $\nabla^E - \varphi^\ast \nabla^{E^\prime}$ es un almacén de tensor y también de todos los colectivos derivados son acotados. Uno puede dar una interpretación similar de la $K_1(C_u(M))$ utilizando el vector de paquetes de más de $S^1 \times M$ que son triviales en un barrio alrededor de $1 \in S^1$.
Utilizando la anterior, ahora puede interpretar $K_0(A)$ $K_1(A)$ (a pesar de $[0,\infty)$ no es un colector de limitada geometría debido a su límite, probablemente deberíamos seguir recibiendo la misma interpretación aquí). Por cierto, la mencionada interpretación de la realidad es parte de mi próxima tesis.
Consideremos ahora el otro caso en el que realmente significa el delimitada funciones continuas (es decir, no sólo el uniforme de funciones continuas). Pero aquí el problema es que no puedo decir mucho ya que no puedo calcular el $K$-teoría de la $A/J$ en este caso. Es tentador decir que podemos homotope cada intervalo de un punto y, a continuación, de nuevo se obtiene, por ejemplo, $K_1(A/J) = 0$. Pero el problema aquí es que este homotopy de todos los intervalos a un montón de puntos no es permitido homotopy para el $C^\ast$-álgebra de todos los delimitada funciones continuas! (Pero es uno de los $C^\ast$-álgebras de todos los acotado, uniforme de funciones continuas, es decir, esta es la forma en cómo me calcula los grupos mencionados, en ese caso). Así que creo que probablemente nadie sabe el $K$-grupos en este caso.
